Seja v(x, y, z) o campo de velocidades de um fluido em movimento. Determinar a variação de v no ponto e direção indicados.
d) v(x, y, z)=(2 x, 2 y, 2) ; P0(1,1,2) ; na direção do vetor -k

Passo 1

Enunciado: Temos o campo de velocidade vetorial v(x,y,z) = (2x,,2y,,2), o ponto P0=(1,1,2) e a direção dada pelo vetor -k. Conteúdo: derivada direcional de um campo vetorial.

Passo 2

A derivada direcional de um campo vetorial v na direção de um vetor unitário u é definida como:\n (ucdotnabla),v

Passo 3

Determinar o vetor unitário da direção -k. Como k=(0,0,1) é unitário, seu oposto também é. Logo:\n u=-k=(0,0,-1)

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de v(x,y,z)=(2x,2y,2):
partialvpartial x=(2,0,0), partialvpartial y=(0,2,0), partialvpartial z=(0,0,0)

Passo 5

Aplicar a definição da derivada direcional:
(ucdotnabla),v = uxpartialvpartial x + uypartialvpartial y + uzpartialvpartial z
Substituindo u=(0,0,-1) e as derivadas parciais, obtemos:
(0),(2,0,0)+(0),(0,2,0)+(-1),(0,0,0)=(0,0,0)
Esse resultado independe das coordenadas, logo em P0 a variação direcional é nula.

Resposta

(0,0,0)

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