Deduza indutivamente o passo iterativo no Método de Newton-Raphson.

Passo 1

O enunciado pede deduzir indutivamente o passo iterativo do método de Newton–Raphson. Vamos usar como ferramenta a aproximação linear de uma função pela reta tangente (expansão de Taylor de primeira ordem) e construir uma sequência \{x_n\} que converge à raiz de f(x)=0.

Passo 2

Para começar, tome um palpite inicial x_0. Aproximamos f por sua reta tangente em x_0:
f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0).
Para estimar a raiz, exigimos que essa reta se anule em x_1:
0 = f(x_0)+f'(x_0)\,(x_1 - x_0) \quad\Longrightarrow\quad x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.

Passo 3

Agora, aplicar o mesmo raciocínio de forma indutiva. Suponha que, na iteração k, já temos uma aproximação x_k. Aproximamos f por
f(x)\approx f(x_k)+f'(x_k)\,(x-x_k)
e definimos x_{k+1} como a raiz dessa reta:
0 = f(x_k)+f'(x_k)\,(x_{k+1}-x_k) \quad\Longrightarrow\quad x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.

Resposta

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Exercícios relacionados