Seja f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} contínua. Suponha que [a, b] contenha um único zero da função. Mostre que a sequência \left(x_{n}\right) determinada pelo Método da Bissecção converge para o zero de f em [a, b].

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:[a,b]\to\mathbb{R} que tem exatamente um zero em [a,b]. Aplicamos o Método da Bissecção, que gera uma sequência de pontos \bigl(x_n\bigr) e de intervalos \bigl[a_n,b_n\bigr] contendo sempre esse zero. Nosso objetivo é mostrar que x_n converge para esse único zero, digamos c.

Passo 2

Definição recursiva do Método da Bissecção:
– Inicialmente, a_1=a, b_1=b e f(a_1)\cdot f(b_1)<0.
– Para cada n\ge1, define-se o ponto médio
x_n = \frac{a_n + b_n}{2}.
– Como f é contínua, verifica-se f(a_n)\cdot f(x_n)\le0 ou f(x_n)\cdot f(b_n)\le0. Escolhe-se então
[a_{n+1},b_{n+1}] =\begin{cases} [a_n,x_n],&\text{se }f(a_n)\,f(x_n)\le0,\\\ [x_n,b_n],&\text{se }f(x_n)\,f(b_n)\le0. \end{cases}

Passo 3

Em cada passo, pelo Teorema de Bolzano (valor intermediário), existe pelo menos um zero de f em [a_n,b_n]. Como globalmente há apenas um zero c em [a,b], esse mesmo c pertence a todos os intervalos [a_n,b_n]. Logo
a_n \le c \le b_n \qquad\forall n.

Passo 4

Mostramos por indução que os intervalos são aninhados e seu comprimento decresce exponencialmente:
– Base n=1: b_1-a_1=b-a.
– Passo indutivo: ao passar de [a_n,b_n] para [a_{n+1},b_{n+1}], escolhe-se uma metade, de modo que
b_{n+1}-a_{n+1} =\frac{b_n - a_n}{2}.
Portanto, para todo n,
b_n - a_n = \frac{b-a}{2^{\,n-1}}
e assim b_n - a_n \to 0 quando n\to\infty.

Passo 5

Pelo Teorema dos Intervalos Aninhados, a interseção \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n] contém exatamente um ponto, já que o comprimento dos intervalos tende a zero. Esse ponto é c, o zero de f.

Passo 6

Como x_n é o ponto médio de [a_n,b_n], temos x_n\in[a_n,b_n]. E como o comprimento do intervalo vai a zero, a distância \bigl|x_n - c\bigr| também tende a zero. Logo
x_n \;\longrightarrow\; c.

Resposta

A sequência \bigl(x_n\bigr) gerada pelo Método da Bissecção converge para o único zero c de f em [a,b].

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