Encontrar uma aproximação para a raiz real de x^{3}-9 x^{2}+3=0 usando o método de Newton com erro inferior a 10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz real da função
f(x)=x^{3}-9x^{2}+3
com erro menor que 10^{-5}, usando o método de Newton. Vamos precisar da derivada f'(x) e da fórmula iterativa de Newton.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^{2}-18x
e escrevemos a iteração de Newton
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Para escolher x_{0}, avaliamos
f(0)=3>0,\quad f(1)=1-9+3=-5<0,
logo existe uma raiz em (0,1). Tomamos x_{0}=0,5.

Passo 4

Aplicando a fórmula em x_{0}=0,5:
f(0,5)=0{,}5^{3}-9\cdot0{,}5^{2}+3=0{,}875,
f'(0,5)=3\cdot0{,}5^{2}-18\cdot0{,}5=-8{,}25,
x_{1}=0{,}5-\frac{0{,}875}{-8{,}25}\approx0{,}60606.
O erro aproximado é \lvert x_{1}-x_{0}\rvert\approx0{,}10606>10^{-5}, então prosseguimos.

Passo 5

Segunda iteração em x_{1}:
f(0{,}60606)\approx-0{,}0829,
f'(0{,}60606)\approx-9{,}8072,
x_{2}=0{,}60606-\frac{-0{,}0829}{-9{,}8072}\approx0{,}59760,
erro \lvert x_{2}-x_{1}\rvert\approx0{,}00846>10^{-5}.
Terceira iteração em x_{2}:
f(0{,}59760)\approx-0{,}0013,
f'(0{,}59760)\approx-9{,}6854,
x_{3}=0{,}59760-\frac{-0{,}0013}{-9{,}6854}\approx0{,}59747,
erro \lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx0{,}00013>10^{-5}.
Quarta iteração em x_{3}:
f(0{,}59747)\approx-1{,}3\times10^{-6},
f'(0{,}59747)\approx-9{,}6836,
x_{4}=0{,}59747-\frac{-1{,}3\times10^{-6}}{-9{,}6836}\approx0{,}59747,
erro \lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx1{,}3\times10^{-7}<10^{-5}.

Resposta

A aproximação da raiz real é
x\approx0{,}59747.

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