A raiz real da equação x^{3}=x+4, pode ser escrita como:
\alpha=\sqrt[3]{2+\frac{1}{9} \sqrt{321}}+\sqrt[3]{2-\frac{1}{9} \sqrt{321}}
(a) Usando a expressão acima, calcular \alpha com 4 dígitos de precisão (tolerância de 10^{-5} );
(b) Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação para \alpha com a mesma tolerância.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real da equação
x^{3} = x + 4
que já está escrita em forma fechada como
\alpha = \sqrt[3]{2 + \tfrac{1}{9}\sqrt{321}} \;+\;\sqrt[3]{2 - \tfrac{1}{9}\sqrt{321}}.
Parte (a) exige calcular numericamente \alpha com tolerância 10^{-5}.
Parte (b) pede aproximá-la pelo método de Newton até a mesma tolerância.

Passo 2

Primeiro calculamos numericamente cada termo da soma.
  1. Calculemos
\sqrt{321}\approx 17.916472\,.
  1. Logo
2 + \tfrac{1}{9}\sqrt{321}\approx 2 + \tfrac{17.916472}{9}\approx 3.990719\,, \qquad 2 - \tfrac{1}{9}\sqrt{321}\approx 0.009281\,.
  1. Em seguida extraímos as raízes cúbicas:
\sqrt[3]{3.990719}\approx 1.5862\,, \qquad \sqrt[3]{0.009281}\approx 0.2102\,.
  1. Somando, obtemos
\alpha \approx 1.5862 + 0.2102 = 1.7964,
com erro menor que 10^{-5}.

Passo 3

Agora aplicamos o método de Newton em
f(x) = x^3 - x - 4,\quad f'(x)=3x^2 -1,
para refinar a raiz até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert <10^{-5}. Escolhemos x_0=1.8.

Passo 4

Executando as iterações:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  1. Com x_0=1.80000:
    f(x_0)=1.8^3-1.8-4=0.032,
    f'(x_0)=3\cdot1.8^2-1=8.72, x_1 = 1.8 - \frac{0.032}{8.72}\approx 1.79633.
  2. Com x_1=1.79633:
    f(x_1)\approx -1.58\times10^{-4},
    f'(x_1)\approx 8.68, x_2 = 1.79633 - \frac{-1.58\times10^{-4}}{8.68}\approx 1.79635.
  3. A diferença \lvert x_2-x_1\rvert\approx1.8\times10^{-5} ainda é ligeiramente maior que 10^{-5}.
  4. Mais uma iteração leva a x_3 \approx 1.79635\quad\text{com}\quad\lvert x_3-x_2\rvert<10^{-5}.

Resposta

(a) \alpha \approx 1.7964.
(b) Pelo método de Newton, \alpha \approx 1.79635 (tolerância 10^{-5}).

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