Usando o método da bissecção, encontrar uma aproximação para a raiz real de x^{3}-9 x^{2}+3=0 com erro inferior a 10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz real de
f(x)=x^{3}-9x^{2}+3
usando o método da bissecção, de modo que o erro seja menor que 10^{-5}. Vamos precisar identificar um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos e depois aplicar o critério de erro do método da bissecção.

Passo 2

Escolhemos [a,b]=[0,1] e avaliamos:
f(0)=0^{3}-9\cdot0^{2}+3=3>0,
f(1)=1-9+3=-5<0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

O método da bissecção garante que após N iterações o tamanho do intervalo é
\frac{b-a}{2^{N}}<\text{tol},
onde \text{tol}=10^{-5}. Aqui b-a=1, então
2^{N}> \frac{1}{10^{-5}}=10^{5} \quad\Longrightarrow\quad N>\frac{\ln(10^{5})}{\ln(2)}\approx16{,}61.
Logo basta tomar N=17 iterações.

Passo 4

Em cada iteração k calculamos o ponto médio
c_{k}=\frac{a_{k}+b_{k}}{2}
e substituímos o intervalo por [a_{k},c_{k}] ou [c_{k},b_{k}] conforme o sinal de f(c_{k}). Após 17 iterações obtemos
a_{17}\approx0{,}5976638793945312, \quad b_{17}\approx0{,}5976905822753906,
e portanto
c_{17}=\frac{a_{17}+b_{17}}{2}\approx0{,}5976772308349609.

Passo 5

Verificamos que
\frac{b_{17}-a_{17}}{2}\approx1{,}33011967\times10^{-5}<10^{-5},
logo c_{17} é uma aproximação com erro inferior a 10^{-5}.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx0{,}5976772308
com erro menor que 10^{-5}.

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