Deduza o jacobiano para as mudanças de variável de coordenadas retângulares para:
coordenadas esféricas

Passo 1

O enunciado pede para deduzir o jacobiano da mudança de variáveis de coordenadas retangulares (x,y,z) para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). O conteúdo aqui é cálculo de múltiplas integrais e mudança de variáveis, em que precisamos calcular
\displaystyle J = \Bigl|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)}\Bigr|.

Passo 2

Definimos a transformação de (\rho,\theta,\varphi) em (x,y,z) da forma usual:
x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\,\cos\varphi,
com \rho\ge0, \theta\in[0,2\pi) e \varphi\in[0,\pi].

Passo 3

Montamos a matriz jacobiana \displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)} cujas entradas são as derivadas parciais:
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial\rho} & \frac{\partial x}{\partial\theta} & \frac{\partial x}{\partial\varphi} \\[6pt] \frac{\partial y}{\partial\rho} & \frac{\partial y}{\partial\theta} & \frac{\partial y}{\partial\varphi} \\[6pt] \frac{\partial z}{\partial\rho} & \frac{\partial z}{\partial\theta} & \frac{\partial z}{\partial\varphi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & -\rho\,\sin\varphi\sin\theta & \rho\,\cos\varphi\cos\theta \\[4pt] \sin\varphi\sin\theta & \rho\,\sin\varphi\cos\theta & \rho\,\cos\varphi\sin\theta \\[4pt] \cos\varphi & 0 & -\rho\,\sin\varphi \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz. Uma forma rápida é desenvolver por cofactor na primeira coluna, mas também podemos observar que todos os termos vão fatorar \rho^2\sin\varphi. Feito o cálculo (por exemplo, expansão de Laplace), obtemos
\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)} = \rho^2\,\sin\varphi.

Passo 5

Como no uso em integrais múltiplas precisamos do valor absoluto do jacobiano, concluímos que
J = \Bigl|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)}\Bigr| = \rho^2\,\sin\varphi.

Resposta

J = \rho^2\,\sin\varphi.

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