Deduza o jacobiano para as mudanças de variável de coordenadas retângulares para:
coordenadas esféricas
Passo 1
O enunciado pede para deduzir o jacobiano da mudança de variáveis de coordenadas retangulares (x,y,z) para coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi). O conteúdo aqui é cálculo de múltiplas integrais e mudança de variáveis, em que precisamos calcular \displaystyle J = \Bigl|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)}\Bigr|.
Passo 2
Definimos a transformação de (\rho,\theta,\varphi) em (x,y,z) da forma usual:
x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\,\cos\varphi,
com \rho\ge0, \theta\in[0,2\pi) e \varphi\in[0,\pi].
Passo 3
Montamos a matriz jacobiana \displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)} cujas entradas são as derivadas parciais:
Calculamos o determinante dessa matriz. Uma forma rápida é desenvolver por cofactor na primeira coluna, mas também podemos observar que todos os termos vão fatorar \rho^2\sin\varphi. Feito o cálculo (por exemplo, expansão de Laplace), obtemos