Use mudança para coordenadas polares e calcule a integral \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4}-y^{2}} d x d y. ( \mathrm{R}: 2 \pi ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{4 - y^2}} dx\,dy
usando mudança para coordenadas polares. O conteúdo é cálculo de área de uma região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração D. Para cada y de 0 a 2, x varia de 0 até \sqrt{4 - y^2}. Isso é justamente o quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante:
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^2+y^2\le4\}.

Passo 3

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Na região D, o raio r vai de 0 a 2 e o ângulo \theta vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}. A integral fica
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} 1\cdot r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{r=0}^{2} r\,dr = \left[\tfrac{r^2}{2}\right]_{0}^{2} = \tfrac{2^2}{2} = 2.
Depois integramos em \theta:
\int_{\theta=0}^{\pi/2} 2\,d\theta = 2\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 2\cdot\tfrac{\pi}{2} = \pi.

Resposta

\pi

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