Deduza o método de Newton a partir de:
Uso de série de Taylor.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir o método de Newton para achar raízes de uma função f usando série de Taylor. O conteúdo é resolução numérica de equações não-lineares. Vamos supor que buscamos \alpha tal que f(\alpha)=0, temos um palpite inicial x_n e queremos melhorar essa estimativa aproveitando a expansão em série de Taylor de f em torno de x_n.

Passo 2

Escrevemos a expansão de Taylor de f em um ponto \alpha próximo a x_n:
f(\alpha) = f(x_n) + f'(x_n)\,(\alpha - x_n) + \frac{f''(\xi)}{2}\,(\alpha - x_n)^2,
onde \xi está entre x_n e \alpha. Como \alpha é raiz, f(\alpha)=0.

Passo 3

Para obter um método prático, desprezamos o termo de segunda ordem \tfrac{f''(\xi)}{2}(\alpha - x_n)^2, supondo \alpha\approx x_n. Ficamos então com a aproximação linear:
0 \approx f(x_n) + f'(x_n)\,(\alpha - x_n).

Passo 4

Isolando \alpha na equação aproximada:
f'(x_n)\,(\alpha - x_n) \approx -\,f(x_n) \quad\Longrightarrow\quad \alpha \approx x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Definimos essa nova estimativa como x_{n+1}.

Resposta

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

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