Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz.
x-3^{-x}=0

Passo 1

Vamos definir a função
f(x)=x-3^{-x}.
O enunciado pede intervalos que contenham soluções de f(x)=0 e verificar se há exatamente uma raiz em cada intervalo. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para localizar a raiz e estudar a derivada f'(x) para garantir unicidade.

Passo 2

Calculamos f em pontos simples para achar mudança de sinal:
f(0)=0-3^{0}= -1<0,
f(1)=1-3^{-1}=1-\tfrac13=\tfrac23>0.
Como f é contínua em \mathbb{R} e f(0)\cdot f(1)<0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 3

Para refinar, escolhemos x=0,5 e x=0,6:
f(0,5)=0,5-3^{-0,5}=0,5-\tfrac1{\sqrt3}\approx -0,077<0,
f(0,6)=0,6-3^{-0,6}\approx0,6-0,517=0,083>0.
Logo há pelo menos uma raiz em (0,5,\,0,6).

Passo 4

Agora mostramos que f é estritamente crescente:
f'(x)=1+\ln(3)\cdot3^{-x}.
Como \ln(3)>0 e 3^{-x}>0 para todo x, segue f'(x)>0 em \mathbb{R}. Portanto, f não muda de sentido e só pode ter uma única raiz em todo o domínio.

Resposta

A equação x-3^{-x}=0 tem exatamente uma solução, que está no intervalo
(0,1)
e, com aproximação mais precisa, em
(0,5,\,0,6).
Esse intervalo contém somente uma raiz.

Exercícios relacionados