Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz.
Passo 1
Vamos definir a função
O enunciado pede intervalos que contenham soluções de
e verificar se há exatamente uma raiz em cada intervalo. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para localizar a raiz e estudar a derivada
para garantir unicidade.
Passo 2
Calculamos
em pontos simples para achar mudança de sinal:
Como
é contínua em
e
, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Para refinar, escolhemos
e
:
Logo há pelo menos uma raiz em
.
Passo 4
Agora mostramos que
é estritamente crescente:
Como
e
para todo
, segue
em
. Portanto,
não muda de sentido e só pode ter uma única raiz em todo o domínio.
Resposta
A equação
tem exatamente uma solução, que está no intervalo
e, com aproximação mais precisa, em
Esse intervalo contém somente uma raiz.