Deduza a seguinte fórmula de derivação:
(f g h)^prime=f^prime g h+f g^prime h+f g h^prime
Dê um bom palpite (chute) sobre como seria a fórmula para (f1 f2 cdots fn-1 fn)^prime.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para três funções diferenciáveis f(x), g(x) e h(x), vale
(fgh)' ;=; f',g,h ;+; f,g',h ;+; f,g,h'
O conteúdo principal aqui é a regra do produto, que para duas funções u e v diz:
(uv)' = u',v + u,v'

Passo 2

Aplique a regra do produto pensando em fgh como fcdot (g,h). Temos
(fcdot (g,h))' = f',(g,h) ;+; f,l(g,hr)'
Agora aplicamos a regra do produto de novo ao termo l(g,hr)':
l(g,hr)' = g',h + g,h'
Substituindo de volta,
(fgh)' = f',(g,h) + f,(g',h + g,h') = f',g,h + f,g',h + f,g,h'

Passo 3

Vemos que cada termo da soma corresponde a derivar exatamente uma das funções e deixar as outras intactas. Esse padrão sugere, para um produto de n funções
f1f2cdots fn, que o resultado será a soma de n termos, onde em cada termo apenas uma das fk está derivada.

Passo 4

Um bom palpite (chute) para a derivada do produto de n funções é
l(f1f2cdots fnr)' = sumk=1^n l(f1cdots fk-1r),fk',l(fk+1cdots fnr)

Resposta

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