Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o teste da comparação. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos precisar comparar com uma série geométrica de razão conhecida.
Passo 2
Observamos que para todo
vale
. Com isso, cada termo da série original satisfaz
Passo 3
Passo 4
0<\frac{9{n}}{3+10{n}}<\frac{9{n}}{10{n}}=\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^{n}.
Passo 5
]
Passo 6
Reconhecemos que
é uma série geométrica de razão
e, como
, essa série converge.
Passo 7
Pelo teste da comparação, já que
e a série comparada converge, concluímos que a série dada também converge.
Resposta
A série converge por comparação com uma série geométrica de razão
.