Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty 9^n3+10^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty9^n3+10^n usando o teste da comparação. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos precisar comparar com uma série geométrica de razão conhecida.

Passo 2

Observamos que para todo n>=1 vale 3+10^n>10^n. Com isso, cada termo da série original satisfaz

Passo 3

Passo 4

0<\frac{9{n}}{3+10{n}}<\frac{9{n}}{10{n}}=\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^{n}.

Passo 5

]

Passo 6

Reconhecemos que sumn=1^inftyl(tfrac910r)^n é uma série geométrica de razão r=tfrac910 e, como |r|<1, essa série converge.

Passo 7

Pelo teste da comparação, já que 0<= an=tfrac9^n3+10^n<= (tfrac910)^n e a série comparada converge, concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série converge por comparação com uma série geométrica de razão 9/10<1.

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