Escreva as equações das retas tangente e normal à curva y=x^3-3 x^2-x+5 no ponto de abcissa x=3.

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = x^3 - 3x^2 - x + 5
no ponto de abscissa x = 3.
O conteúdo envolvido é o cálculo da derivada para obter o coeficiente angular da tangente, a avaliação da função para obter o ponto, e em seguida uso das fórmulas das retas tangente e normal em torno de um ponto.

Passo 2

Calculamos o ponto da curva em x=3:
y(3) = 3^3 - 3cdot 3^2 - 3 + 5 = 27 - 27 - 3 + 5 = 2
Logo o ponto é l(3,2r).

Passo 3

Obtemos a derivada de y em função de x:
y' = ddxl(x^3 - 3x^2 - x + 5r) = 3x^2 - 6x - 1
Em x=3 o coeficiente angular da tangente é
mt = y'(3) = 3cdot 3^2 - 6cdot 3 - 1 = 27 - 18 - 1 = 8

Passo 4

A equação da reta tangente à curva em l(3,2r) usa a forma ponto-declive:
y - 2 = 8,(x - 3)
ou, isolando y,
y = 8x - 22

Passo 5

A reta normal é ortogonal à tangente, logo seu coeficiente angular é o negativo do inverso de mt:
mn = -18
Usando também a forma ponto-declive em l(3,2r):
y - 2 = -18,(x - 3)
ou, isolando y,
y = -18x + 198

Resposta

Reta tangente:
y = 8x - 22
Reta normal:
y = -18x + 198

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