Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty 5+2 n(1+n^2)^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty 5+2n(1+n^2)^2
usando o teste da comparação. O conteúdo principal aqui é reconhecer um termo que se comporta como uma série de potências 1/n^p e comparar com um p-série cujo comportamento conhecemos.

Passo 2

Vamos chamar o termo geral de
an = 5+2n(1+n^2)^2
Para aplicar o teste da comparação com uma p-série, precisamos encontrar uma constante C>0 e um expoente p tal que, para n suficientemente grande (ou até para todo n>=1), tenhamos
an <= Cn^p

Passo 3

Observe que, para todo n>=1, vale
5 + 2n <= 7n e (1+n^2)^2 >= n^4
Logo,
an = 5+2n(1+n^2)^2 <= 7nn^4 = 7n^3

Passo 4

A série
sumn=1^infty 7n^3
é uma p-série com p=3>1. Sabemos que toda p-série com p>1 converge.

Passo 5

Como 0 <= an <= 7/n^3 a partir de n=1 e sum 7/n^3 converge, pelo teste da comparação a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 5+2n(1+n^2)^2 converge pelo teste da comparação com a p-série sum 1/n^3.

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