Esboce a região descrita e cálcule sua área.
R é a região delimitada pelo gráfico de
e as retas
e
;
R é a região delimitada pelo gráfico de
Passo 1
O exercício pede pra esboçar e calcular a área da região limitada pela curva
e pelas retas verticais
e
. O conteúdo principal é integral definida: vamos precisar usar
e avaliar entre 1 e 4.
Passo 2
Primeiro, esboça a região. O gráfico de
passa por
e em
vale
. As retas
e
formam as fronteiras verticais. A região fica sob a curva e acima do eixo
, de
a
.
Passo 3
Pra calcular a área usamos a integral definida de
no intervalo de 1 a 4:
Passo 4
Precisamos lembrar da fórmula de integração por partes para
. Tomamos:
Então
Logo,
Passo 5
Agora avaliamos de 1 a 4:
Passo 6
Como
, isso vira:
Passo 7
Finalmente, usando
, obtemos:
Resposta
A = 8\ln(2) - 3