Esboce a região descrita e cálcule sua área.
R é a região delimitada pelo gráfico de f(x)=ln (x) e as retas x=1 e x=4;

Passo 1

O exercício pede pra esboçar e calcular a área da região limitada pela curva y=ln(x) e pelas retas verticais x=1 e x=4. O conteúdo principal é integral definida: vamos precisar usar integral ln(x),dx e avaliar entre 1 e 4.

Passo 2

Primeiro, esboça a região. O gráfico de y=ln(x) passa por (1,0) e em x=4 vale ln(4). As retas x=1 e x=4 formam as fronteiras verticais. A região fica sob a curva e acima do eixo x, de x=1 a x=4.

Passo 3

Pra calcular a área usamos a integral definida de y=ln(x) no intervalo de 1 a 4:
A = integral1^4 ln(x),dx

Passo 4

Precisamos lembrar da fórmula de integração por partes para integral ln(x),dx. Tomamos:
u = ln(x), dv = dx
Então
du = 1xdx, v = x
Logo,
integral ln(x),dx = xln(x) - integral x cdot 1xdx = xln(x) - x + C

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 4:
A = l[xln(x) - xr]1^4 = l(4ln(4) - 4r) - l(1ln(1) - 1r)

Passo 6

Como ln(1)=0, isso vira:
A = 4ln(4) - 4 - (0 - 1) = 4ln(4) - 4 + 1 = 4ln(4) - 3

Passo 7

Finalmente, usando ln(4)=2ln(2), obtemos:
A = 4cdot 2ln(2) - 3 = 8ln(2) - 3

Resposta

A = 8\ln(2) - 3

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