O que você pode dizer sobre a série sum an em cada um dos seguintes casos?
lim |an+1an|=1

Passo 1

O enunciado pergunta o que podemos concluir sobre a convergência da série sum an quando
limntoinfty|an+1an|=1
O conteúdo é o teste da razão para séries e precisamos lembrar suas conclusões padrões.

Passo 2

No teste da razão, calculamos
L = limntoinfty|an+1an|
As conclusões são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos exatamente o caso L=1, então o teste da razão não nos informa se sum an converge ou diverge. Em outras palavras, pode acontecer dos dois.

Passo 4

Para ver isso na prática, compare dois exemplos:
  1. Tome an=1n. Então
|an+1an| =1/(n+1)1/n=nn+1to1,
mas sum1n diverge (série harmônica).
2. Tome an=1n^2. De novo
|an+1an| =1/(n+1)^21/n^2=l(nn+1r)^2to1,
porém sum1n^2 converge (série p com p=2>1).

Resposta

O teste da razão é inconclusivo quando
liml|an+1/anr|=1; a série pode convergir ou divergir, sendo necessário usar outro critério.

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