determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos usar a fórmula da soma dos
primeiros inteiros e, em seguida, decomposição em frações parciais para ver que a série telescopa.
Passo 2
Calculamos primeiro a soma dos
primeiros inteiros:
Logo o termo geral da série fica
Passo 3
Para enxergar o telescoping, escrevemos
em frações parciais:
Multiplicando por
vem
Comparando coeficientes,
e
, logo
,
. Portanto
Passo 4
A série parcial até
é
Isso telescopa, pois muitos termos se cancelam, sobrando
Fazendo
,
, logo
Isso mostra que a série converge e seu valor é
.
Resposta
A série converge e seu somatório é
.