determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 11+2+3+ldots+n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 11+2+3+cdots+n
Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros inteiros e, em seguida, decomposição em frações parciais para ver que a série telescopa.

Passo 2

Calculamos primeiro a soma dos n primeiros inteiros:
1+2+cdots+n = n(n+1)2
Logo o termo geral da série fica
an = 11+2+cdots+n = 1n(n+1)2 = 2n(n+1)

Passo 3

Para enxergar o telescoping, escrevemos tfrac2n(n+1) em frações parciais:
2n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando por n(n+1) vem
2 = A(n+1) + Bn = (A+B),n + A
Comparando coeficientes, A+B=0 e A=2, logo A=2, B=-2. Portanto
2n(n+1) = 2l(1n - 1n+1r)

Passo 4

A série parcial até N é
SN = sumn=1^N 2l(1n - 1n+1r)
Isso telescopa, pois muitos termos se cancelam, sobrando
SN = 2l(1 - 1N+1r)
Fazendo Ntoinfty, tfrac1N+1to0, logo
limNtoinftySN = 2
Isso mostra que a série converge e seu valor é 2.

Resposta

A série converge e seu somatório é 2.

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