Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente un contra-exemplo.
( 1 ponto) Sejam A e B matrizes inversiveis n \times n, então (A+B)^{-1}=B^{-1}+A^{-1}.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas matrizes quadradas invertíveis A e B de ordem n, teríamos
(A+B)^{-1} \;=\; B^{-1} + A^{-1}.
O conteúdo aqui é verificar propriedades de inversa de soma de matrizes. Em geral não existe uma fórmula simples que expresse (A+B)^{-1} em função apenas de A^{-1} e B^{-1}, diferente do caso de produto, onde (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

Passo 2

Vamos dar um contra-exemplo em dimensão 1\times1. Tome
A = [1] \quad\text{e}\quad B = [1].
Então:
A+B = [1]+[1] = [2],
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(A+B)^{-1} = [2]^{-1} = \bigl[\tfrac12\bigr].
Por outro lado,
A^{-1} = [1]^{-1} = [1], \quad B^{-1} = [1]^{-1} = [1],
então
B^{-1} + A^{-1} = [1] + [1] = [2].
Como \bigl[\tfrac12\bigr]\neq[2], vemos que
(A+B)^{-1} \neq B^{-1} + A^{-1}.

Resposta

A afirmativa é falsa. O contra-exemplo A=[1], B=[1] basta para refutá-la.

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