Determine se as transformaçőes, abaixo, são transformaçōes lineares.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+2 z, y+2 x, z+2 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x + 2z,; y + 2x,; z + 2y,)
e pergunta se T é linear. Para isso precisamos lembrar que T é linear se, para quaisquer u,vinR^3 e escalar c, valem as propriedades:
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) (aditividade)
  2. T(c,u) = c,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2). Então
u+v = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,)
e aplicando T a essa soma:
T(u+v) = l((x1+x2) + 2(z1+z2),;(y1+y2) + 2(x1+x2),;(z1+z2) + 2(y1+y2)r)
Reescrevendo cada componente:
= (,x1+2z1,;y1+2x1,;z1+2y1);+;(x2+2z2,;y2+2x2,;z2+2y2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Agora peguemos um escalar c e u=(x,y,z). Então
c,u = (,c x,; c y,; c z,)
e
T(c,u) = l(c x + 2(c z),;c y + 2(c x),;c z + 2(c y)r) = c,(x + 2z,;y + 2x,;z + 2y) = c,T(u)

Passo 4

Como T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c,u)=c,T(u) para quaisquer u,v e c, concluímos que T satisfaz as duas propriedades de linearidade.

Resposta

A transformação T é linear.

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