- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 1) e
(autovalor 4). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede 4 coisas, e nos dá os autoespaços:
- Parte (a): Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
- Parte (b): Determinar uma transformação linear
que tenha os auto-espaços (autovalor ) e (autovalor ), e apresentar a matriz que representa na base canônica. - Parte (c): Dizer se existe base de autovetores para
e, caso exista, obter a matriz cujas colunas são esses autovetores (base de autovetores) em relação à base canônica. - Parte (d): Calcular
e mostrar que é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas explicitamente:
- Os dois auto-espaços são linhas (subespaços de dimensão
) geradas por e por . - Os autovalores associados são
(para ) e (para ).
Passo 2
Definições (didático, passo a passo):
- Auto-vetor e autovalor (rápido lembrete): um vetor não nulo
é autovetor de uma transformação linear se existe scalar tal que . Esse é chamado autovalor correspondente. - Auto-espaço associado a um autovalor
: é o conjunto de todos os vetores que são levados por em múltiplos de si mesmos com fator . Formalmente, Observação prática: é o núcleo da aplicação linear , isto é, Isso é útil porque transforma a condição numa equação homogênea . - Multiplicidade geométrica de um autovalor
: é a dimensão do auto-espaço , ou seja, . Ela diz quantos autovetores linearmente independentes (máximo) temos associados a esse autovalor.
Exemplo curto para fixar: se
é uma reta em
então
, se é todo
então
.
Passo 3
Entendendo os auto-espaços dados e escolhendo autovetores geradores:
- O auto-espaço
é a reta gerada por . Então é um autovetor associado a . - O auto-espaço
é a reta gerada por . Então é um autovetor associado a .
Vamos usar os vetores
e
como colunas de uma matriz
(se forem linearmente independentes, formam base).
Passo 4
Verificar independência linear de
e
e formar
:
- Calcule o determinante da matriz cujas colunas são
e : O determinante é - Como
, e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de . Então existe base de autovetores.]
Passo 5
Construir a matriz
da transformação
na base canônica:
- A ideia:
e . Se colocarmos com colunas e , então vale a relação matricial Daí Vamos calcular explicitamente. - Primeiro,
e são - Calcule
(multiplicando cada coluna de pelo autovalor correspondente): - Já no passo seguinte precisaremos de
; calculamos no passo seguinte e então obtemos .]
Passo 6
Calcular
(fórmula para inversa de matriz
) com detalhes:
- Para uma matriz
se , então - Aplicando a
temos e . Assim ]
Passo 7
Calcular
explicitamente:
- Já tínhamos
. - Multiplicando
por : - Primeiro calcule o produto inteiro:
- Agora multiplique por
: - Verificação rápida (fizemos para garantir que deu certo):
confirmando que os auto-espaços e autovalores pedidos estão corretos.]
Passo 8
Mostrar que
é diagonal com os autovalores:
- Observação conceitual: para qualquer
formado por autovetores pelas colunas e a diagonal com os autovalores, temos por construção . Multiplicando à esquerda por obtém-se - Concretamente: como
e , a multiplicação produz a matriz cujas colunas são e , isto é . Logo . - Podemos também observar numericamente: com
tem-se (a conta direta segue da identidade já verificada).]
Resposta
(a) O auto-espaço associado a um autovalor
é
. A multiplicidade geométrica de
é
.\n(b)
e a matriz
com essas colunas é
e
.])