1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{1}=\{(2 t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{4}=\{(t, 2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 4). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede 4 coisas, e nos dá os autoespaços:
  • Parte (a): Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
  • Parte (b): Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que tenha os auto-espaços E_{1}=\{(2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}(autovalor 1) e E_{4}=\{(t,2t)\mid t\in\mathbb{R}\}(autovalor 4), e apresentar a matriz A que representa T na base canônica.
  • Parte (c): Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, caso exista, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (base de autovetores) em relação à base canônica.
  • Parte (d): Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • Os dois auto-espaços são linhas (subespaços de dimensão 1) geradas por (2,1) e por (1,2).
  • Os autovalores associados são \lambda_1=1 (para E_1) e \lambda_2=4 (para E_4).

Passo 2

Definições (didático, passo a passo):
  • Auto-vetor e autovalor (rápido lembrete): um vetor não nulo v\in\mathbb{R}^n é autovetor de uma transformação linear T se existe scalar \lambda tal que T(v)=\lambda v. Esse \lambda é chamado autovalor correspondente.
  • Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: é o conjunto de todos os vetores que são levados por T em múltiplos de si mesmos com fator \lambda. Formalmente, E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n \mid T(v)=\lambda v\}.Observação prática: E_{\lambda} é o núcleo da aplicação linear T-\lambda I, isto é, E_{\lambda}=\ker(T-\lambda I).Isso é útil porque transforma a condição T(v)=\lambda v numa equação homogênea (T-\lambda I)v=0.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}, ou seja, \text{mult}_{\text{geom}}(\lambda)=\dim(E_{\lambda}). Ela diz quantos autovetores linearmente independentes (máximo) temos associados a esse autovalor.
Exemplo curto para fixar: se E_\lambda é uma reta em \mathbb{R}^2 então \dim(E_\lambda)=1, se é todo \mathbb{R}^2 então \dim(E_\lambda)=2.

Passo 3

Entendendo os auto-espaços dados e escolhendo autovetores geradores:
  • O auto-espaço E_1=\{(2t,t)\} é a reta gerada por v_1=(2,1). Então v_1 é um autovetor associado a \lambda_1=1.
  • O auto-espaço E_4=\{(t,2t)\} é a reta gerada por v_2=(1,2). Então v_2 é um autovetor associado a \lambda_2=4.
Vamos usar os vetores v_1=(2,1) e v_2=(1,2) como colunas de uma matriz P (se forem linearmente independentes, formam base).

Passo 4

Verificar independência linear de v_1 e v_2 e formar P:
  • Calcule o determinante da matriz cujas colunas são v_1 e v_2: P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.O determinante é \det(P)=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3\neq 0.
  • Como \det(P)\neq 0, v_1 e v_2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2. Então existe base de autovetores.]

Passo 5

Construir a matriz A da transformação T na base canônica:
  • A ideia: T(v_1)=1\cdot v_1 e T(v_2)=4\cdot v_2. Se colocarmos P com colunas v_1,v_2 e D=\operatorname{diag}(1,4), então vale a relação matricial A P = P D.Daí A = P D P^{-1}.Vamos calcular explicitamente.
  • Primeiro, P e D são P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
  • Calcule P D (multiplicando cada coluna de P pelo autovalor correspondente): P D=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix}.
  • Já no passo seguinte precisaremos de P^{-1}; calculamos no passo seguinte e então obtemos A.]

Passo 6

Calcular P^{-1} (fórmula para inversa de matriz 2\times2) com detalhes:
  • Para uma matriz 2\times2 M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},se \det(M)=ad-bc\neq 0, então M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando a P temos a=2,b=1,c=1,d=2 e \det(P)=3. Assim P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular A=P D P^{-1} explicitamente:
  • Já tínhamos P D=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix}.
  • Multiplicando P D por P^{-1}: A=(P D)P^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
  • Primeiro calcule o produto inteiro: \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot2+4\cdot(-1) & 2\cdot(-1)+4\cdot2 \\[4pt] 1\cdot2+8\cdot(-1) & 1\cdot(-1)+8\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 6 \\[4pt] -6 & 15\end{pmatrix}.
  • Agora multiplique por 1/3: A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0 & 6 \\[4pt] -6 & 15\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] -2 & 5\end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (fizemos para garantir que deu certo): A\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot2+2\cdot1\\[4pt]-2\cdot2+5\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot v_1,
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot1+2\cdot2\\[4pt]-2\cdot1+5\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}=4\cdot v_2,
confirmando que os auto-espaços e autovalores pedidos estão corretos.]

Passo 8

Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores:
  • Observação conceitual: para qualquer P formado por autovetores pelas colunas e D a diagonal com os autovalores, temos por construção A P = P D. Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtém-se P^{-1} A P = D.
  • Concretamente: como A v_1 = 1\cdot v_1 e A v_2 = 4\cdot v_2, a multiplicação A P produz a matriz cujas colunas são 1\cdot v_1 e 4\cdot v_2, isto é P D. Logo P^{-1} A P = D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
  • Podemos também observar numericamente: com P^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] -2 & 5\end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},tem-se P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&4\end{pmatrix} (a conta direta segue da identidade A P = P D já verificada).]

Resposta

(a) O auto-espaço associado a um autovalor \lambda é E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n\mid T(v)=\lambda v\}=\ker(T-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).\n(b) A=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] -2 & 5\end{pmatrix}.\n\text{(c)} Sim. Uma base de autovetores é \(\{(2,1),(1,2)\} e a matriz P com essas colunas é P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.\n(d) \(P^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} e P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.])

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