1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{3}=\{(t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor -3 ) e E_{2}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado tem quatro itens. Vou listar exatamente o que se pede e o que é dado, para a gente não se perder:
  • (a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  • (b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} cujos auto-espaços são E_{3}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}associado ao autovalor -3, e E_{2}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}associado ao autovalor 2. Apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} em relação à base canônica de \mathbb{R}^2.
  • (c) Dizer se existe uma base de autovetores de \mathbb{R}^{2}; se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (em relação à base canônica).
  • (d) Calcular a inversa de P e mostrar que P^{-1}AP é diagonal, com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas que vou usar explicitamente:
  • E_{3}=\operatorname{span}\{(1,1)\} e autovalor associado -3.
  • E_{2}=\operatorname{span}\{(1,-1)\} e autovalor associado 2.

Passo 2

(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplo pequeno para fixar.
  • Auto-espaço associado a um autovalor: seja \mathrm{T}:V\to V linear e \lambda um autovalor de \mathrm{T}. O auto-espaço (ou espaço próprio) associado a \lambda é o conjunto de vetores v que são “esticados” por \mathrm{T} apenas por \lambda, ou seja
    E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
    Outra forma útil de ver isso é
    E_{\lambda}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I),
    porque \mathrm{T}(v)=\lambda v é equivalente a (\mathrm{T}-\lambda I)(v)=0. O auto-espaço é sempre um subespaço linear de V.
    Exemplo rápido: para a matriz diagonal \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}, o auto-espaço de 2 é \operatorname{span}\{(1,0)\} porque só vetores na direção (1,0) são multiplicados por 2.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço correspondente. Ou seja, para \lambda,
    \text{multiplicidade geométrica de }\lambda = \dim(E_{\lambda}).é
    Intuição: ela diz quantas direções linearmente independentes de autovetores temos para aquele autovalor. Por exemplo, se \dim(E_{\lambda})=2 em \mathbb{R}^2, então toda \mathbb{R}^2 consiste em autovetores de \lambda.
Observações úteis (sem complicar demais): se \lambda é um autovalor então sua multiplicidade geométrica é pelo menos 1. Em matrizes reais, a multiplicidade geométrica é sempre menor ou igual à multiplicidade algébrica (aquela dada na fatoração do polinômio característico).

Passo 3

(b) Construção da transformação e da matriz A em relação à base canônica.
Raciocínio prático: temos os auto-espaços dados. Podemos escolher os vetores geradores
v_{1}=(1,1)\in E_{3}\quad\text{e}\quad v_{2}=(1,-1)\in E_{2}.
Queremos \mathrm{T}(v_{1})=-3v_{1} e \mathrm{T}(v_{2})=2v_{2}. Como v_{1} e v_{2} são vetores não colineares (eles geram \mathbb{R}^{2}), isso define \mathrm{T} univocamente em toda \mathbb{R}^{2} por linearidade: qualquer vetor x é combinação linear de v_{1},v_{2} e então aplicamos \mathrm{T} por linearidade.
Agora vou montar a matriz. Coloco os autovetores como colunas de uma matriz P:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal (na mesma ordem das colunas de P):
D=\begin{pmatrix}-3 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
A relação entre a matriz A na base canônica e essas matrizes é
A = P\,D\,P^{-1},
porque P muda da base de autovetores para a base canônica e D é a representação em base de autovetores.
Vou calcular P^{-1} e depois A. Primeiro o determinante de P:
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2\neq 0,
logo P é invertível. A inversa, usando a fórmula de 2\times2, é
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Agora calculo P D:
P D=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & 2\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix}.
Multiplico por P^{-1}:
A=(P D)P^{-1}=\begin{pmatrix}-3 & 2\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Faço entrada a entrada (mostrando os cálculos simples):
  • Entrada (1,1): -3\cdot\tfrac{1}{2}+2\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{-3+2}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • Entrada (1,2): -3\cdot\tfrac{1}{2}+2\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{-3-2}{2}=-\tfrac{5}{2}.
  • Entrada (2,1): -3\cdot\tfrac{1}{2}+(-2)\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{-3-2}{2}=-\tfrac{5}{2}.
  • Entrada (2,2): -3\cdot\tfrac{1}{2}+(-2)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{-3+2}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto a matriz A em relação à base canônica é
A=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -\tfrac{5}{2}\\[4pt]-\tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Verificação rápida (coisa de prova): A(1,1)=(-\tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{2}, -\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2})=(-3,-3)=-3(1,1), e A(1,-1)=(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{2}, -\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{2})=(2,-2)=2(1,-1). Então os autovetores e autovalores estão corretos.]

Passo 4

(c) Existe base de autovetores?
  • Sim. Como já notei, v_{1}=(1,1) e v_{2}=(1,-1) são autovetores correspondentes a autovalores distintos e são linearmente independentes (porque \det(P)=-2\neq 0). Dois vetores independentes em \mathbb{R}^{2} formam uma base. Logo há uma base de \mathbb{R}^{2} formada por autovetores.
  • A matriz P cujas colunas são esses autovetores (na ordem que usei) é
    P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

(d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1}AP é diagonal com autovalores na diagonal.
  • Já calculei P^{-1} no Passo 3:
    P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Agora mostro por duas vias que P^{-1}AP=D.
    1. Raciocínio algébrico: como construí A por A=PDP^{-1}, multiplico à esquerda por P^{-1} e à direita por P para obter
      P^{-1}AP = P^{-1}(PDP^{-1})P = (P^{-1}P)D(P^{-1}P) = I\,D\,I = D,
      que é a matriz diagonal
      D=\begin{pmatrix}-3 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
      Isso já encerra a demonstração teórica.
    2. Verificação numérica rápida (confirmação): multiplicando explicitamente P^{-1}AP com as matrizes calculadas resulta em \begin{pmatrix}-3&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}. (Se quiser, posso mostrar a multiplicação elemento a elemento, mas o argumento algébrico acima é suficiente e limpinho.)
Concluímos que A é diagonalizável e sua diagonalização por P tem os autovalores -3 e 2 na diagonal principal.]

Resposta

(a) E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I). Multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).
(b) A=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & -\tfrac{5}{2}\\[4pt]-\tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
(c) Sim. Uma base de autovetores é dada por v_{1}=(1,1), v_{2}=(1,-1), isto é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
(d) P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}-3 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

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