- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor -3 ) e
(autovalor 2). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado tem quatro itens. Vou listar exatamente o que se pede e o que é dado, para a gente não se perder:
- (a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
- (b) Determinar uma transformação linear
cujos auto-espaços são associado ao autovalor , e associado ao autovalor . Apresentar a matriz que representa em relação à base canônica de . - (c) Dizer se existe uma base de autovetores de
; se existir, obter a matriz cujas colunas são esses autovetores (em relação à base canônica). - (d) Calcular a inversa de
e mostrar que é diagonal, com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas que vou usar explicitamente:
-
e autovalor associado . -
e autovalor associado .
Passo 2
(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplo pequeno para fixar.
-
Auto-espaço associado a um autovalor: seja
linear e um autovalor de . O auto-espaço (ou espaço próprio) associado a é o conjunto de vetores que são “esticados” por apenas por , ou seja Outra forma útil de ver isso éporqueé equivalente a . O auto-espaço é sempre um subespaço linear de . Exemplo rápido: para a matriz diagonal, o auto-espaço de é porque só vetores na direção são multiplicados por . -
Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço correspondente. Ou seja, para
, Intuição: ela diz quantas direções linearmente independentes de autovetores temos para aquele autovalor. Por exemplo, seem , então toda consiste em autovetores de .
Observações úteis (sem complicar demais): se
é um autovalor então sua multiplicidade geométrica é pelo menos
. Em matrizes reais, a multiplicidade geométrica é sempre menor ou igual à multiplicidade algébrica (aquela dada na fatoração do polinômio característico).
Passo 3
(b) Construção da transformação e da matriz
em relação à base canônica.
Raciocínio prático: temos os auto-espaços dados. Podemos escolher os vetores geradores
Queremos
e
. Como
e
são vetores não colineares (eles geram
), isso define
univocamente em toda
por linearidade: qualquer vetor
é combinação linear de
e então aplicamos
por linearidade.
Agora vou montar a matriz. Coloco os autovetores como colunas de uma matriz
:
e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal (na mesma ordem das colunas de
):
A relação entre a matriz
na base canônica e essas matrizes é
porque
muda da base de autovetores para a base canônica e
é a representação em base de autovetores.
Vou calcular
e depois
. Primeiro o determinante de
:
logo
é invertível. A inversa, usando a fórmula de
, é
Agora calculo
:
Multiplico por
:
Faço entrada a entrada (mostrando os cálculos simples):
- Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: .
Portanto a matriz
em relação à base canônica é
Verificação rápida (coisa de prova):
, e
. Então os autovetores e autovalores estão corretos.]
Passo 4
(c) Existe base de autovetores?
-
Sim. Como já notei,
e são autovetores correspondentes a autovalores distintos e são linearmente independentes (porque ). Dois vetores independentes em formam uma base. Logo há uma base de formada por autovetores. -
A matriz
cujas colunas são esses autovetores (na ordem que usei) é ]
Passo 5
(d) Calcular
e mostrar que
é diagonal com autovalores na diagonal.
-
Já calculei
no Passo 3: -
Agora mostro por duas vias que
. -
Raciocínio algébrico: como construí
por , multiplico à esquerda por e à direita por para obter que é a matriz diagonalIsso já encerra a demonstração teórica. -
Verificação numérica rápida (confirmação): multiplicando explicitamente
com as matrizes calculadas resulta em . (Se quiser, posso mostrar a multiplicação elemento a elemento, mas o argumento algébrico acima é suficiente e limpinho.)
-
Concluímos que
é diagonalizável e sua diagonalização por
tem os autovalores
e
na diagonal principal.]
Resposta
(a)
. Multiplicidade geométrica de
é
.
(b)
(c) Sim. Uma base de autovetores é dada por
,
, isto é
(d)
]