- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 1) e
(autovalor 5). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido, para a gente não se perder.
-
Pedidos:
(a) Definir auto-espaço associado a um autovalor e definir multiplicidade geométrica de um autovalor.
(b) Determinar uma transformação linearcujos auto-espaços são ee apresentar a matrizque representa na base canônica de .
(c) Dizer se existe base de autovetores parae, se existir, obter a matriz cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem para a base canônica).
(d) Calcular a inversa dee mostrar que é diagonal com os autovalores na diagonal principal. -
Dados relevantes (explicitados):
- Autoespaços dados:
e . - Autovalores associados:
para e para . - Não há figura faltando; temos aqui vetores-direção explícitos para cada autoespaço.
- Autoespaços dados:
Passo 2
Definições e intuição (didática, sem pular etapas).
-
Auto-espaço associado a um autovalor: seja
linear e seja um autovalor. O auto-espaço associado a é o conjunto de todos os vetores que são escalados por por esse fator . Formalmente, Outra forma prática de ver isso éporqueé equivalente a . Aqui é a aplicação identidade. Intuição: o auto-espaço é uma subreta, plano, etc., (dependendo da dimensão) contendo todos os autovetores associados ae o vetor nulo. -
Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço
. Em símbolos, Significado prático: se a multiplicidade geométrica defor , então existem autovetores linearmente independentes associados a .
Exemplo simples extra (para fixar): se
(todos múltiplos de um vetor não-nulo), então
.
Passo 3
Escolhendo autovetores a partir dos auto-espaços dados e verificando independência.
-
De
um autovetor natural (não-nulo) é porque paratemos . -
De
um autovetor natural é
Explicação por que esses são autovetores: por definição de
e
, todo vetor nesses conjuntos satisfaz
e
, uma vez que vamos definir
com essas propriedades (a construção será explicada adiante).
Agora precisamos saber se
e
são linearmente independentes — isso é crucial para saber se formam uma base de
. Para vetores em
, basta olhar o determinante da matriz cujas colunas são
e
:
O determinante é
Como o determinante é não nulo,
e
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de
.]
Passo 4
Como construir
e como obter a matriz
na base canônica — estratégia e justificativa.
-
Estratégia: dado que queremos que
e sejam auto-espaços com autovalores e , definimos de forma que Comoformam uma base de , isso determina em toda a por linearidade: qualquer vetor é combinação linear de e aplicamos estendendo linearmente. -
Representação matricial: se colocarmos
como a matriz cujas colunas são os autovetores , e a matriz diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal, então a matriz de na base canônica satisfaz AquiIntuição curta: em coordenadas da base formada por autovetores, a transformação é simplesmente multiplicar cada coordenada pelo seu autovalor (por issoé diagonal). A mudança de base traz essa ação para a base canônica via e .]
Passo 5
Cálculo explícito de
e
(já listados) e preparação para multiplicações.
- Relembrando:
Vamos calcular
. Primeiro calculamos
. Multiplicando
por
(nota: multiplicar por
faz com que a segunda coluna de
seja multiplicada por
, porque
tem
na segunda diagonal):
Passo 6
Cálculo da inversa de
com passos bem explícitos.
-
Determinante já calculado:
. -
Fórmula da inversa para matriz
: se então Aplicando a: ]
Passo 7
Multiplicação final para obter
. Vamos fazer
com contas mostradas.
Temos
e
Multiplicando coluna a coluna (vou calcular todas as entradas):
- Entrada
: - Entrada
: - Entrada
: - Entrada
:
Portanto
Observação (útil para a prova): essa é a matriz na base canônica que satisfaz
e
. Podemos rapidamente verificar para reforçar confiança — veja o passo seguinte.]
Passo 8
Verificação direta que
realmente age como desejamos sobre os autovetores (checar cálculos na prova dá segurança).
-
Calcular
para : -
Calcular
para :
Isso confirma que os autoespaços e autovalores ficaram corretos.]
Passo 9
Mostrar que
é diagonal (cálculo explícito).
-
Observação teórica rápida: como
, multiplicando à esquerda por e à direita por obtemos . Vou também fazer a conta numérica explícita para não deixar dúvida. -
Primeiro calcular
. As colunas de são e ; já vimos que e . Então (isto é exatamentecalculado antes). Agora multiplicando à esquerda por : Se quiser ver em contas:Assim,é a matriz diagonal com e na diagonal principal, exatamente os autovalores associados.]
Resposta
(a) O auto-espaço associado a um autovalor
é
. A multiplicidade geométrica de
é
.
(b)
(c) Sim, existe; uma base de autovetores é formada por e
, ou seja
(c) Sim, existe; uma base de autovetores é formada por
(d)
e
]