1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{1}=\{(2 t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{5}=\{(t,-2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 5). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido, para a gente não se perder.
  • Pedidos:
    (a) Definir auto-espaço associado a um autovalor e definir multiplicidade geométrica de um autovalor.
    (b) Determinar uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços são
    E_{1}=\{(2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{com autovalor }1
    e
    E_{5}=\{(t,-2t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{com autovalor }5,
    e apresentar a matriz A que representa T na base canônica de \mathbb{R}^2.
    (c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem para a base canônica).
    (d) Calcular a inversa de P e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
  • Dados relevantes (explicitados):
    • Autoespaços dados: E_1=\{(2t,t)\} e E_5=\{(t,-2t)\}.
    • Autovalores associados: \lambda_1=1 para E_1 e \lambda_2=5 para E_5.
    • Não há figura faltando; temos aqui vetores-direção explícitos para cada autoespaço.

Passo 2

Definições e intuição (didática, sem pular etapas).
  • Auto-espaço associado a um autovalor: seja T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n linear e seja \lambda um autovalor. O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto de todos os vetores que são escalados por T por esse fator \lambda. Formalmente,
    E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n \mid T(v)=\lambda v\}.
    Outra forma prática de ver isso é
    E_{\lambda}=\ker(T-\lambda I),
    porque T(v)=\lambda v é equivalente a (T-\lambda I)(v)=0. Aqui I é a aplicação identidade.
    Intuição: o auto-espaço é uma subreta, plano, etc., (dependendo da dimensão) contendo todos os autovetores associados a \lambda e o vetor nulo.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}. Em símbolos,
    \text{multiplicidade geométrica de }\lambda = \dim(E_{\lambda}).é
    Significado prático: se a multiplicidade geométrica de \lambda for k, então existem k autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
Exemplo simples extra (para fixar): se E_\lambda=\{(t,2t,0)\} (todos múltiplos de um vetor não-nulo), então \dim(E_\lambda)=1.

Passo 3

Escolhendo autovetores a partir dos auto-espaços dados e verificando independência.
  • De E_1=\{(2t,t)\} um autovetor natural (não-nulo) é
    v_1=(2,1),
    porque para t=1 temos (2,1)\in E_1.
  • De E_5=\{(t,-2t)\} um autovetor natural é
    v_2=(1,-2).
Explicação por que esses são autovetores: por definição de E_1 e E_5, todo vetor nesses conjuntos satisfaz T(v_1)=1\cdot v_1 e T(v_2)=5\cdot v_2, uma vez que vamos definir T com essas propriedades (a construção será explicada adiante).
Agora precisamos saber se v_1 e v_2 são linearmente independentes — isso é crucial para saber se formam uma base de \mathbb{R}^2. Para vetores em \mathbb{R}^2, basta olhar o determinante da matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(P)=2\cdot(-2)-1\cdot1=-4-1=-5\neq 0.
Como o determinante é não nulo, v_1 e v_2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2.]

Passo 4

Como construir T e como obter a matriz A na base canônica — estratégia e justificativa.
  • Estratégia: dado que queremos que E_1 e E_5 sejam auto-espaços com autovalores 1 e 5, definimos T de forma que
    T(v_1)=1\cdot v_1,\qquad T(v_2)=5\cdot v_2.
    Como v_1,v_2 formam uma base de \mathbb{R}^2, isso determina T em toda a \mathbb{R}^2 por linearidade: qualquer vetor x é combinação linear de v_1,v_2 e aplicamos T estendendo linearmente.
  • Representação matricial: se colocarmos P como a matriz cujas colunas são os autovetores v_1,v_2, e D a matriz diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal, então a matriz A de T na base canônica satisfaz
    A = P D P^{-1}.
    Aqui
    P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
    Intuição curta: em coordenadas da base formada por autovetores, a transformação é simplesmente multiplicar cada coordenada pelo seu autovalor (por isso D é diagonal). A mudança de base traz essa ação para a base canônica via P e P^{-1}.]

Passo 5

Cálculo explícito de P e D (já listados) e preparação para multiplicações.
  • Relembrando: P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
Vamos calcular A=PDP^{-1}. Primeiro calculamos PD. Multiplicando P por D (nota: multiplicar por D faz com que a segunda coluna de P seja multiplicada por 5, porque D tem 5 na segunda diagonal):
PD=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & -10\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo da inversa de P com passos bem explícitos.
  • Determinante já calculado: \det(P)=-5.
  • Fórmula da inversa para matriz 2\times2: se P=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} então
    P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
    Aplicando a P:
    P^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Multiplicação final para obter A. Vamos fazer A=(PD)P^{-1} com contas mostradas.
Temos PD=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & -10\end{pmatrix} e
P^{-1}=\begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix}.
Multiplicando coluna a coluna (vou calcular todas as entradas):
  • Entrada (1,1): 2\cdot\frac{2}{5} + 5\cdot\frac{1}{5} = \frac{4}{5} + \frac{5}{5} = \frac{9}{5}.
  • Entrada (1,2): 2\cdot\frac{1}{5} + 5\cdot\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{2}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{8}{5}.
  • Entrada (2,1): 1\cdot\frac{2}{5} + (-10)\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{8}{5}.
  • Entrada (2,2): 1\cdot\frac{1}{5} + (-10)\cdot\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{5} + \frac{20}{5} = \frac{21}{5}.
Portanto
A=\begin{pmatrix}\tfrac{9}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt]-\tfrac{8}{5} & \tfrac{21}{5}\end{pmatrix}.
Observação (útil para a prova): essa é a matriz na base canônica que satisfaz A v_1 = 1\cdot v_1 e A v_2 = 5\cdot v_2. Podemos rapidamente verificar para reforçar confiança — veja o passo seguinte.]

Passo 8

Verificação direta que A realmente age como desejamos sobre os autovetores (checar cálculos na prova dá segurança).
  • Calcular A v_1 para v_1=(2,1):
    A\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{9}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt]-\tfrac{8}{5} & \tfrac{21}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{18}{5}-\tfrac{8}{5}\\[4pt]-\tfrac{16}{5}+\tfrac{21}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} =1\cdot v_1.
  • Calcular A v_2 para v_2=(1,-2):
    A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{9}{5}+\tfrac{16}{5}\\[4pt]-\tfrac{8}{5}-\tfrac{42}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]-10\end{pmatrix} =5\cdot v_2.
Isso confirma que os autoespaços e autovalores ficaram corretos.]

Passo 9

Mostrar que P^{-1} A P é diagonal (cálculo explícito).
  • Observação teórica rápida: como A=PDP^{-1}, multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos P^{-1} A P = D. Vou também fazer a conta numérica explícita para não deixar dúvida.
  • Primeiro calcular A P. As colunas de P são v_1 e v_2; já vimos que A v_1 = 1\cdot v_1 e A v_2 = 5\cdot v_2. Então
    A P = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & -10\end{pmatrix}.
    (isto é exatamente PD calculado antes). Agora multiplicando à esquerda por P^{-1}:
    P^{-1}(A P) = P^{-1}(P D) = (P^{-1}P)D = I D = D.
    Se quiser ver em contas:
    P^{-1} \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & -10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & -10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
    Assim, P^{-1} A P é a matriz diagonal com 1 e 5 na diagonal principal, exatamente os autovalores associados.]

Resposta

(a) O auto-espaço associado a um autovalor \lambda é E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n\mid T(v)=\lambda v\}=\ker(T-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}\tfrac{9}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt]-\tfrac{8}{5} & \tfrac{21}{5}\end{pmatrix}.
(c) Sim, existe; uma base de autovetores é formada por v_1=(2,1) e v_2=(1,-2), ou seja
\displaystyle P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle P^{-1}=\begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix} e \displaystyle P^{-1} A P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.]

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