- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(aautovalor 0 ) e
(autovalor 4). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede, ponto a ponto, para não nos perdermos.
Dado:
- O espaço é
. - Dois auto-espaços (eigenspaces) são fornecidos:
Pede-se:
a) Definir o que é um auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Encontrar uma transformação linear que tenha exatamente os auto-espaços dados e apresentar a matriz
que representa
na base canônica.
c) Dizer se existe uma base de autovetores para . Se existir, apresentar a matriz
cujas colunas são esses autovetores (isto é, a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
d) Calcular e mostrar que
é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
a) Definir o que é um auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Encontrar uma transformação linear
c) Dizer se existe uma base de autovetores para
d) Calcular
Observação: os vetores geradores dos auto-espaços que nos deram são
para
e
para
. Vamos usar esses vetores explicitamente.
Passo 2
Definições (parte a) — vou explicar devagar e com exemplo para fixar bem.
Definição de auto-espaço associado a um autovalor: seja
linear e
(ou
). O auto-espaço associado a
é o conjunto
Ou seja, é o conjunto de todos os vetores que são apenas escalados por
quando aplicamos
. Esse conjunto é sempre um subespaço vetorial de
. Outra maneira de ver é
isto é, o núcleo da transformação
.
Explicação da multiplicidade geométrica (parte a): a multiplicidade geométrica do autovalor
é a dimensão do auto-espaço
:
Exemplo rápido: se
é apenas todos os múltiplos de um vetor não-nulo, então
. Se
então
(mas isso só ocorreria se
não fosse realmente autovalor).
Comentário amigável: pense no auto-espaço como a reta (ou plano, etc.) de vetores que apontam numa “direção própria” da transformação — quando aplicamos
eles só se esticam/encolhem, não mudam de direção.
Passo 3
Escolha dos autovetores e construção da transformação (início da parte b).
Os auto-espaços dados são:
Isso nos dá dois autovetores naturais: escolha
associado a
e
associado a
.
Uma transformação linear
que tenha esses auto-espaços deve satisfazer
Como
é gerado por
e
(se forem linearmente independentes), essa definição determina
em todo o
.
Montamos a matriz
cujas colunas são os autovetores na base canônica:
E a matriz diagonal dos autovalores é
A relação básica entre
(matriz de
na base canônica),
e
é
Vou calcular
explicitamente no próximo passo.]
Passo 4
Cálculo de
(passo intermédio para achar
).
Multiplicar
por
é simples porque
é diagonal: multiplica a primeira coluna de
por
e a segunda por
. Assim
Interpretação: a primeira coluna é
e a segunda é
.]
Passo 5
Cálculo de
(necessário para
).
Primeiro o determinante de
:
Para a inversa de uma
usamos a fórmula
Aplicando a
(onde
) obtemos
Passo 6
Cálculo final da matriz
(parte b, continuar).
Já temos
e
. Agora fazemos a multiplicação
Calculemos elemento a elemento (vou detalhar cada entrada):
- Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: . - Entrada
: .
Logo
Confirmação rápida (checagem útil na prova): aplique
aos vetores geradores para ver se respeita os autovalores.
-
(verificação rápida por cálculo: etc.), portanto é autovetor com . -
, portanto é autovetor com .]
Passo 7
Existe base de autovetores? (parte c)
Sim. Em
se tivermos dois autovetores linearmente independentes então eles formam uma base de autovetores. Os vetores fornecidos são
e
. Para verificar independência linear podemos calcular o determinante da matriz
cujas colunas são esses vetores:
Como
, as colunas são linearmente independentes e portanto
é uma base de
composta apenas de autovetores. Logo existe base de autovetores e a matriz
pedida é exatamente
Passo 8
Cálculo de
(repetição compacta) e demonstração de que
é diagonal (parte d).
Já calculamos antes:
Agora mostro que
. Uma forma conceitual rápida e rigorosa: as colunas de
são autovetores, então
. Multiplicando à esquerda por
dá
Se preferir ver em contas: já que
, multiplicando por
à esquerda e por
à direita temos
. Explicitamente
que é diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.]
Resposta
(a) O auto-espaço associado a
é
. A multiplicidade geométrica de
é
.
(b) Uma matriz que representa na base canônica é
(b) Uma matriz que representa
(c) Sim. Uma base de autovetores é
e a matriz
cujas colunas são esses vetores é
(d) A inversa de
é
e
que é diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.]