1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{0}=\{(t, 5 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (aautovalor 0 ) e E_{4}=\{(t,-2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 4). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede, ponto a ponto, para não nos perdermos.
Dado:
  • O espaço é \mathbb{R}^{2}.
  • Dois auto-espaços (eigenspaces) são fornecidos: E_{0}=\{(t,5t)\mid t\in\mathbb{R}\} \quad\text{(autovalor }0\text{)}
E_{4}=\{(t,-2t)\mid t\in\mathbb{R}\} \quad\text{(autovalor }4\text{)}
Pede-se:
a) Definir o que é um auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Encontrar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} que tenha exatamente os auto-espaços dados e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica.
c) Dizer se existe uma base de autovetores para \mathbb{R}^{2}. Se existir, apresentar a matriz P cujas colunas são esses autovetores (isto é, a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1}AP é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Observação: os vetores geradores dos auto-espaços que nos deram são (1,5) para E_{0} e (1,-2) para E_{4}. Vamos usar esses vetores explicitamente.

Passo 2

Definições (parte a) — vou explicar devagar e com exemplo para fixar bem.
Definição de auto-espaço associado a um autovalor: seja \mathrm{T}:V\to V linear e \lambda\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}). O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
E_{\lambda}=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
Ou seja, é o conjunto de todos os vetores que são apenas escalados por \lambda quando aplicamos \mathrm{T}. Esse conjunto é sempre um subespaço vetorial de V. Outra maneira de ver é
E_{\lambda}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I),
isto é, o núcleo da transformação \mathrm{T}-\lambda I.
Explicação da multiplicidade geométrica (parte a): a multiplicidade geométrica do autovalor \lambda é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}:
\text{multiplicidade geométrica de }\lambda = \dim(E_{\lambda}).é
Exemplo rápido: se E_{\lambda} é apenas todos os múltiplos de um vetor não-nulo, então \dim(E_{\lambda})=1. Se E_{\lambda}=\{0\} então \dim(E_{\lambda})=0 (mas isso só ocorreria se \lambda não fosse realmente autovalor).
Comentário amigável: pense no auto-espaço como a reta (ou plano, etc.) de vetores que apontam numa “direção própria” da transformação — quando aplicamos \mathrm{T} eles só se esticam/encolhem, não mudam de direção.

Passo 3

Escolha dos autovetores e construção da transformação (início da parte b).
Os auto-espaços dados são:
E_0=\operatorname{span}\{(1,5)\},\qquad E_4=\operatorname{span}\{(1,-2)\}.
Isso nos dá dois autovetores naturais: escolha v_1=(1,5) associado a \lambda_1=0 e v_2=(1,-2) associado a \lambda_2=4.
Uma transformação linear \mathrm{T} que tenha esses auto-espaços deve satisfazer
\mathrm{T}(v_1)=0\cdot v_1=\mathbf{0},\qquad \mathrm{T}(v_2)=4\cdot v_2.
Como \mathbb{R}^{2} é gerado por v_1 e v_2 (se forem linearmente independentes), essa definição determina \mathrm{T} em todo o \mathbb{R}^{2}.
Montamos a matriz P cujas colunas são os autovetores na base canônica:
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & -2\end{pmatrix}.
E a matriz diagonal dos autovalores é
D=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
A relação básica entre A (matriz de \mathrm{T} na base canônica), P e D é
A = P\,D\,P^{-1}.
Vou calcular A explicitamente no próximo passo.]

Passo 4

Cálculo de P D (passo intermédio para achar A).
Multiplicar P por D é simples porque D é diagonal: multiplica a primeira coluna de P por 0 e a segunda por 4. Assim
P D = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 4 \\[4pt] 0 & -8\end{pmatrix}.
Interpretação: a primeira coluna é \mathrm{T}(v_1)=0 e a segunda é \mathrm{T}(v_2)=4v_2=(4,-8)^{T}.]

Passo 5

Cálculo de P^{-1} (necessário para A).
Primeiro o determinante de P:
\det(P)=1\cdot(-2)-1\cdot 5 = -2-5 = -7.
Para a inversa de uma 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} usamos a fórmula
\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a P (onde a=1,b=1,c=5,d=-2) obtemos
P^{-1}=\frac{1}{-7}\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -5 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/7 & 1/7 \\[4pt] 5/7 & -1/7\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo final da matriz A=PDP^{-1} (parte b, continuar).
Já temos P D=\begin{pmatrix}0 & 4 \\[4pt] 0 & -8\end{pmatrix} e P^{-1}=\begin{pmatrix}2/7 & 1/7 \\[4pt] 5/7 & -1/7\end{pmatrix}. Agora fazemos a multiplicação
A = (P D)\,P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 4 \\[4pt] 0 & -8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2/7 & 1/7 \\[4pt] 5/7 & -1/7\end{pmatrix}.
Calculemos elemento a elemento (vou detalhar cada entrada):
  • Entrada (1,1): 0\cdot \tfrac{2}{7} + 4\cdot \tfrac{5}{7} = \tfrac{20}{7}.
  • Entrada (1,2): 0\cdot \tfrac{1}{7} + 4\cdot \left(-\tfrac{1}{7}\right) = -\tfrac{4}{7}.
  • Entrada (2,1): 0\cdot \tfrac{2}{7} + (-8)\cdot \tfrac{5}{7} = -\tfrac{40}{7}.
  • Entrada (2,2): 0\cdot \tfrac{1}{7} + (-8)\cdot \left(-\tfrac{1}{7}\right) = \tfrac{8}{7}.
Logo
A=\begin{pmatrix}20/7 & -4/7 \\[4pt] -40/7 & 8/7\end{pmatrix}.
Confirmação rápida (checagem útil na prova): aplique A aos vetores geradores para ver se respeita os autovalores.
  • A(1,5)^{T} = (0,0)^{T} (verificação rápida por cálculo: 20/7 -20/7=0 etc.), portanto (1,5) é autovetor com \lambda=0.
  • A(1,-2)^{T} = (4,-8)^{T} = 4(1,-2)^{T}, portanto (1,-2) é autovetor com \lambda=4.]

Passo 7

Existe base de autovetores? (parte c)
Sim. Em \mathbb{R}^{2} se tivermos dois autovetores linearmente independentes então eles formam uma base de autovetores. Os vetores fornecidos são v_1=(1,5) e v_2=(1,-2). Para verificar independência linear podemos calcular o determinante da matriz P cujas colunas são esses vetores:
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & -2\end{pmatrix},\qquad \det(P)=-7\neq 0.
Como \det(P)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e portanto \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^{2} composta apenas de autovetores. Logo existe base de autovetores e a matriz P pedida é exatamente
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo de P^{-1} (repetição compacta) e demonstração de que P^{-1}AP é diagonal (parte d).
Já calculamos antes:
P^{-1}=\begin{pmatrix}2/7 & 1/7 \\[4pt] 5/7 & -1/7\end{pmatrix}.
Agora mostro que P^{-1}AP=D. Uma forma conceitual rápida e rigorosa: as colunas de P são autovetores, então A P = P D. Multiplicando à esquerda por P^{-1}
P^{-1} A P = D.
Se preferir ver em contas: já que A= P D P^{-1}, multiplicando por P^{-1} à esquerda e por P à direita temos P^{-1} A P = D. Explicitamente
P^{-1} A P=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix},
que é diagonal com os autovalores 0 e 4 na diagonal principal.]

Resposta

(a) O auto-espaço associado a \lambda é E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).
(b) Uma matriz que representa \mathrm{T} na base canônica é
A=\begin{pmatrix}20/7 & -4/7 \\[4pt] -40/7 & 8/7\end{pmatrix}.
(c) Sim. Uma base de autovetores é \{(1,5),(1,-2)\} e a matriz P cujas colunas são esses vetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & -2\end{pmatrix}.
(d) A inversa de P é
P^{-1}=\begin{pmatrix}2/7 & 1/7 \\[4pt] 5/7 & -1/7\end{pmatrix},
e
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix},
que é diagonal com os autovalores 0 e 4 na diagonal principal.]

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