1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{2}=\{(t, 2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{3}=\{(t,-3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 3). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O problema tem quatro itens. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que nos foram dadas.
  • (a) Pedem definição de “auto-espaço associado a um autovalor” e de “multiplicidade geométrica de um autovalor”.
  • (b) Pedem que determinemos uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços são E_{2}=\{(t,2t)\mid t\in\mathbb{R}\}com autovalor 2, e E_{3}=\{(t,-3t)\mid t\in\mathbb{R}\}com autovalor 3. Precisamos apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^2.
  • (c) Perguntam se existe uma base de autovetores de \mathbb{R}^2. Se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de mudança de base para a base canônica).
  • (d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas:
  • Os auto-espaços são unidimensionais e estão descritos explicitamente (portanto podemos escolher vetores geradores).
  • Não há ambiguidade nas dimensões (estamos em \mathbb{R}^2), nem falta de dados adicionais.
A partir daqui começo a resolver e a explicar passo a passo.

Passo 2

(a) Definição didática e explicada passo a passo.
  • Auto-espaço associado a um autovalor: seja uma transformação linear \mathrm{T}:V\to V num espaço vetorial V. Para um escalar \lambda, o auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
    E_{\lambda} = \{v\in V \mid \mathrm{T}(v) = \lambda v\}.
    Em palavras: é o conjunto de vetores que são apenas escalados por \mathrm{T} (não mudam de direção, só de módulo e sentido). Este conjunto é sempre um subespaço vetorial de V. Observação prática: quando E_{\lambda} é não-trivial (contém vetores não-nulos), \lambda é chamado autovalor e qualquer v\neq 0 em E_{\lambda} é um autovetor.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor: para um autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}:
    \text{mult}_{\text{geom}}(\lambda) = \dim(E_{\lambda}).
    Ou seja, conta quantos vetores linearmente independentes têm propriedade \mathrm{T}(v)=\lambda v. Exemplo simples: se E_{\lambda} é gerado por um vetor (é uma reta passando pela origem), então a multiplicidade geométrica é 1.
Explicando por que isso importa: se em \mathbb{R}^2 existirem dois autovetores linearmente independentes, então esses formam uma base de \mathbb{R}^2 composta só por autovetores — isso permite diagonalizar a matriz da transformação.

Passo 3

(b) Escolhendo autovetores a partir dos auto-espaços dados e explicando o método.
  • Cada auto-espaço é uma reta: E_2 é gerado pelo vetor (1,2) (peguei t=1) e E_3 é gerado por (1,-3) (peguei t=1). Ou seja:
    v_1 = (1,2)\in E_2,\qquad v_2=(1,-3)\in E_3.
    Esses vetores satisfazem
    \mathrm{T}(v_1)=2 v_1,\qquad \mathrm{T}(v_2)=3 v_2.
    Explicação: escolhemos representantes simples (com t=1) porque qualquer múltiplo gera o mesmo auto-espaço; isso facilita cálculos.
  • Agora queremos a matriz A da transformação \mathrm{T} na base canônica. Se escrevemos A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, então para um vetor (x,y) temos
    A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a x + b y\\\ c x + d y\end{pmatrix}.
    Impondo as duas condições de autovalor:
    A v_1 = 2 v_1,\qquad A v_2 = 3 v_2,
    obtemos um sistema de equações que permite determinar a,b,c,d.

Passo 4

(b) Resolver o sistema linear para obter A — desenvolvimento passo a passo sem pular etapas.
  • Escrevendo as condições explicitamente:
    para v_1=(1,2):
    A\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2b\\\ c+2d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix},
    que dá as equações
    a+2b = 2,\qquad c+2d = 4.
    para v_2=(1,-3):
    A\begin{pmatrix}1\\\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-3b\\\ c-3d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -9\end{pmatrix},
    que dá
    a-3b = 3,\qquad c-3d = -9.
  • Agora resolvemos as incógnitas a,b,c,d em pares:
    subtraindo as duas equações para a,b:
    (a+2b) - (a-3b) = 2 - 3 \implies 5b = -1 \implies b = -\frac{1}{5}.
    Então
    a = 2 - 2b = 2 - 2\left(-\frac{1}{5}\right) = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}.
    Para c,d, subtraindo:
    (c+2d) - (c-3d) = 4 - (-9) \implies 5d = 13 \implies d=\frac{13}{5}.
    Então
    c = 4 - 2d = 4 - 2\cdot\frac{13}{5} = 4 - \frac{26}{5} = \frac{20-26}{5} = -\frac{6}{5}.

Passo 5

(b) Apresentação da matriz A final.
  • A matriz que representa \mathrm{T} na base canônica (colocando os a,b,c,d encontrados) é A = \begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{6}{5} & \tfrac{13}{5}\end{pmatrix}.
Breve verificação intuitiva: aplicar A a v_1=(1,2) e v_2=(1,-3) dá, respectivamente, (2,4) e (3,-9), confirmando os autovalores 2 e 3.]

Passo 6

(c) Existência de base de autovetores e construção da matriz P.
  • Precisamos verificar se v_1=(1,2) e v_2=(1,-3) são linearmente independentes. Colocando-os como colunas da matriz
    P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix},
    o determinante de P é
    \det(P) = 1\cdot(-3) - 1\cdot 2 = -3 - 2 = -5 \neq 0.
    Como o determinante é não nulo, as colunas são linearmente independentes e, portanto, \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2 composta por autovetores. Logo, existe base de autovetores.
  • A matriz P pedida (matriz cujas colunas são autovetores) é
    P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 7

(d) Cálculo de P^{-1} e demonstração de que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores.
  • Fórmula para inversa de 2\times2: se M=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} tem \det(M)\neq0, então
    M^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando a P=\begin{pmatrix}1&1\\\\ 2&-3\end{pmatrix} com \det(P)=-5, obtemos
    P^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-3 & -1\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
  • Agora mostro que P^{-1} A P é a matriz diagonal com autovalores: observe que, por construção de A, temos para cada coluna v_j de P,
    A v_1 = 2 v_1,\qquad A v_2 = 3 v_2.
    Isso significa que a multiplicação A P dá:
    A P = \big(A v_1\;|\; A v_2\big) = \big(2 v_1\;|\;3 v_2\big) = P \begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}.
    Portanto
    P^{-1} A P = P^{-1} \big(P \begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}\big) = (P^{-1}P)\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}.
    Essa é uma demonstração limpa baseada na propriedade de que colunas de P são autovetores. Se preferir, pode-se multiplicar numericamente e verificar que o produto dá exatamente a diagonal \operatorname{diag}(2,3).]

Resposta

(a) Auto-espaço associado ao autovalor \lambda: E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_{\lambda}).
(b) A=\begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{6}{5} & \tfrac{13}{5}\end{pmatrix}
(c) Sim, existe base de autovetores. Uma matriz P de autovetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
(d) P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.]

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