a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{2}=\{(t, 2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{3}=\{(t,-3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 3). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O problema tem quatro itens. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que nos foram dadas.
(a) Pedem definição de “auto-espaço associado a um autovalor” e de “multiplicidade geométrica de um autovalor”.
(b) Pedem que determinemos uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços sãoE_{2}=\{(t,2t)\mid t\in\mathbb{R}\}com autovalor 2, eE_{3}=\{(t,-3t)\mid t\in\mathbb{R}\}com autovalor 3. Precisamos apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^2.
(c) Perguntam se existe uma base de autovetores de \mathbb{R}^2. Se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de mudança de base para a base canônica).
(d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas:
Os auto-espaços são unidimensionais e estão descritos explicitamente (portanto podemos escolher vetores geradores).
Não há ambiguidade nas dimensões (estamos em \mathbb{R}^2), nem falta de dados adicionais.
A partir daqui começo a resolver e a explicar passo a passo.
Passo 2
(a) Definição didática e explicada passo a passo.
Auto-espaço associado a um autovalor: seja uma transformação linear \mathrm{T}:V\to V num espaço vetorial V. Para um escalar \lambda, o auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
E_{\lambda} = \{v\in V \mid \mathrm{T}(v) = \lambda v\}.
Em palavras: é o conjunto de vetores que são apenas escalados por \mathrm{T} (não mudam de direção, só de módulo e sentido). Este conjunto é sempre um subespaço vetorial de V. Observação prática: quando E_{\lambda} é não-trivial (contém vetores não-nulos), \lambda é chamado autovalor e qualquer v\neq 0 em E_{\lambda} é um autovetor.
Multiplicidade geométrica de um autovalor: para um autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}:
Ou seja, conta quantos vetores linearmente independentes têm propriedade \mathrm{T}(v)=\lambda v. Exemplo simples: se E_{\lambda} é gerado por um vetor (é uma reta passando pela origem), então a multiplicidade geométrica é 1.
Explicando por que isso importa: se em \mathbb{R}^2 existirem dois autovetores linearmente independentes, então esses formam uma base de \mathbb{R}^2 composta só por autovetores — isso permite diagonalizar a matriz da transformação.
Passo 3
(b) Escolhendo autovetores a partir dos auto-espaços dados e explicando o método.
Cada auto-espaço é uma reta: E_2 é gerado pelo vetor (1,2) (peguei t=1) e E_3 é gerado por (1,-3) (peguei t=1). Ou seja:
Explicação: escolhemos representantes simples (com t=1) porque qualquer múltiplo gera o mesmo auto-espaço; isso facilita cálculos.
Agora queremos a matriz A da transformação \mathrm{T} na base canônica. Se escrevemos A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, então para um vetor (x,y) temos
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a x + b y\\\ c x + d y\end{pmatrix}.
Impondo as duas condições de autovalor:
A v_1 = 2 v_1,\qquad A v_2 = 3 v_2,
obtemos um sistema de equações que permite determinar a,b,c,d.
Passo 4
(b) Resolver o sistema linear para obter A — desenvolvimento passo a passo sem pular etapas.
Escrevendo as condições explicitamente:
para v_1=(1,2):
A matriz que representa \mathrm{T} na base canônica (colocando os a,b,c,d encontrados) éA = \begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{6}{5} & \tfrac{13}{5}\end{pmatrix}.
Breve verificação intuitiva: aplicar A a v_1=(1,2) e v_2=(1,-3) dá, respectivamente, (2,4) e (3,-9), confirmando os autovalores 2 e 3.]
Passo 6
(c) Existência de base de autovetores e construção da matriz P.
Precisamos verificar se v_1=(1,2) e v_2=(1,-3) são linearmente independentes. Colocando-os como colunas da matriz
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix},
Como o determinante é não nulo, as colunas são linearmente independentes e, portanto, \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2 composta por autovetores. Logo, existe base de autovetores.
A matriz P pedida (matriz cujas colunas são autovetores) é
P = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.]
Passo 7
(d) Cálculo de P^{-1} e demonstração de que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores.
Fórmula para inversa de 2\times2: se M=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} tem \det(M)\neq0, então
Agora mostro que P^{-1} A P é a matriz diagonal com autovalores: observe que, por construção de A, temos para cada coluna v_j de P,
A v_1 = 2 v_1,\qquad A v_2 = 3 v_2.
Isso significa que a multiplicação A P dá:
A P = \big(A v_1\;|\; A v_2\big) = \big(2 v_1\;|\;3 v_2\big) = P \begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}.
Portanto
P^{-1} A P = P^{-1} \big(P \begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}\big) = (P^{-1}P)\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}.
Essa é uma demonstração limpa baseada na propriedade de que colunas de P são autovetores. Se preferir, pode-se multiplicar numericamente e verificar que o produto dá exatamente a diagonal \operatorname{diag}(2,3).]
Resposta
(a) Auto-espaço associado ao autovalor \lambda: E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_{\lambda}).