1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{1}=\{(t, 4 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{5}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 5). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
  • (a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  • (b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} que tenha os auto-espaços dados E_{1}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }1\text{)}e E_{5}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }5\text{)},e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^{2}.
  • (c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^{2} e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (base de autovetores escrita na base canônica).
  • (d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas:
  • Os dois auto-espaços são retas geradas pelos vetores (1,4) (para autovalor 1) e (1,-1) (para autovalor 5).
  • Estamos trabalhando em \mathbb{R}^{2} com a base canônica padrão.

Passo 2

(a) Definições e explicação didática.
  • Auto-espaço associado a um autovalor: suponha que \mathrm{T}:V\to V seja uma transformação linear e \lambda\in\mathbb{R} seja um autovalor de \mathrm{T}. O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
    E_{\lambda}=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
    Este conjunto é um subespaço vetorial de V. Em palavras: é o conjunto de todos os vetores que, quando aplico \mathrm{T}, apenas são escalados por \lambda (não mudam de direção).
    Exemplo simples: se \mathrm{T} for a transformação que dobra todos os vetores em uma direção específica e mata os outros, um vetor dessa direção é autovetor e o conjunto desses vetores forma o auto-espaço.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}, isto é
    \text{mult. geométrica}(\lambda)=\dim(E_{\lambda}).é
    É o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda. Por exemplo, em \mathbb{R}^{2} uma multiplicidade geométrica pode ser 0 (se não for autovalor), 1 (uma reta de autovetores) ou 2 (o espaço todo).
Esses conceitos são importantes porque se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço (aqui 2), então existe uma base formada por autovetores (ou seja, a matriz é diagonalizável).

Passo 3

(b) Construção da transformação \mathrm{T} e da matriz A.
Ideia: escolher um autovetor não-nulo em cada auto-espaço e montar a matriz P cujas colunas são esses autovetores. A ação de \mathrm{T} nesses vetores é conhecida (multiplicação por seu autovalor). Assim, se
v_{1}=(1,4)\in E_{1},\qquad v_{2}=(1,-1)\in E_{5},
então
\mathrm{T}(v_{1})=1\cdot v_{1}=v_{1},\qquad \mathrm{T}(v_{2})=5\cdot v_{2}.
Se colocarmos
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},
então, na base dos autovetores (colunas de P), a matriz de \mathrm{T} é D. A matriz de \mathrm{T} na base canônica é dada por
A = P\,D\,P^{-1}.
Nos próximos passos calculamos P^{-1} e A explicitamente.]

Passo 4

Cálculo de P^{-1} (fórmula para inversa de matriz 2\times2).
Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(M)=ad-bc, \qquad M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix},
desde que \det(M)\neq 0.
Aplicando isso a
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix},
calculemos o determinante:
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot 4 = -1-4 = -5 \neq 0.
Portanto P é invertível. Usando a fórmula:
P^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] -4 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5 & 1/5 \\[4pt] 4/5 & -1/5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de A = P D P^{-1} passo a passo.
Primeiro calcule P D. Como D escala as colunas de P pelo respectivo autovalor:
P D = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1 & 1\cdot 5 \\[4pt] 4\cdot 1 & -1\cdot 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix}.
Agora multiplique (P D) por P^{-1}:
A = (P D)P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 5 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/5 & 1/5 \\[4pt] 4/5 & -1/5\end{pmatrix}.
Façamos as entradas uma a uma (sem pular etapas):
  • Entrada (1,1):
1\cdot\frac{1}{5} + 5\cdot\frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \frac{20}{5} = \frac{21}{5}.
  • Entrada (1,2):
1\cdot\frac{1}{5} + 5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{5}.
  • Entrada (2,1):
4\cdot\frac{1}{5} + (-5)\cdot\frac{4}{5} = \frac{4}{5} - \frac{20}{5} = -\frac{16}{5}.
  • Entrada (2,2):
4\cdot\frac{1}{5} + (-5)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{4}{5} + \frac{5}{5} = \frac{9}{5}.
Logo
A=\begin{pmatrix} \dfrac{21}{5} & -\dfrac{4}{5} \\[6pt] -\dfrac{16}{5} & \dfrac{9}{5} \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}21 & -4 \\[4pt] -16 & 9\end{pmatrix}.
Esta é a matriz que representa \mathrm{T} na base canônica. (Verificação alternativa aparece no próximo passo.)]

Passo 6

Verificação alternativa e intuição prática (útil para prova): obter as colunas de A calculando \mathrm{T}(e_{1}) e \mathrm{T}(e_{2}) explicitamente.
Método: escreva cada vetor da base canônica como combinação linear dos autovetores v_{1}=(1,4) e v_{2}=(1,-1), aplique \mathrm{T} (que multiplica v_{1} por 1 e v_{2} por 5) e reconverta à base canônica.
  • Para e_{1}=(1,0), resolvemos \alpha v_{1}+\beta v_{2}=(1,0):
    \alpha+\beta=1,\qquad 4\alpha-\beta=0.
    Da segunda equação \beta=4\alpha. Substituindo na primeira:
    \alpha+4\alpha=1 \Rightarrow 5\alpha=1 \Rightarrow \alpha=\frac{1}{5},\quad \beta=\frac{4}{5}.
    Então
    \mathrm{T}(e_{1})=\alpha\mathrm{T}(v_{1})+\beta\mathrm{T}(v_{2}) =\alpha v_{1}+5\beta v_{2} =\frac{1}{5}(1,4)+4(1,-1) =\left(\frac{21}{5},-\frac{16}{5}\right).
    Isso coincide com a primeira coluna de A.
  • Para e_{2}=(0,1), resolvemos \alpha+\beta=0,\;4\alpha-\beta=1.
    Da primeira \beta=-\alpha. Substituindo:
    4\alpha - (-\alpha)=1 \Rightarrow 5\alpha=1 \Rightarrow \alpha=\frac{1}{5},\\ \beta=-\frac{1}{5}.
    Então
    \mathrm{T}(e_{2})=\alpha v_{1}+5\beta v_{2} =\frac{1}{5}(1,4)-1(1,-1) =\left(-\frac{4}{5},\frac{9}{5}\right),
    que é a segunda coluna de A. Assim verificamos a matriz obtida por PDP^{-1}.

Passo 7

(c) Existência de base de autovetores e matriz P.
Os vetores v_{1}=(1,4) e v_{2}=(1,-1) são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro). Outra verificação: \det(P)=-5\neq 0. Portanto eles formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Logo existe base de autovetores e podemos escolher
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix},
cujas colunas são os autovetores correspondentes aos autovalores 1 e 5, respectivamente.]

Passo 8

(d) Cálculo de P^{-1} (já feito) e verificação de diagonalização.
Relembrando:
P^{-1}=\begin{pmatrix}1/5 & 1/5 \\[4pt] 4/5 & -1/5\end{pmatrix}.
Sabemos que, por construção, A = P D P^{-1}. Multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
P^{-1} A P = P^{-1}(P D P^{-1})P = (P^{-1}P) D (P^{-1}P) = I D I = D.
Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},
que é diagonal com os autovalores 1 e 5 na diagonal principal. Se quisermos verificar por multiplicação direta, usar-se-ia os valores numéricos já calculados de P^{-1}, A e P, obtendo a mesma diagonal.]

Resposta

(a) Auto-espaço: E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_{\lambda}).
(b) A=\begin{pmatrix}\dfrac{21}{5} & -\dfrac{4}{5} \\[6pt] -\dfrac{16}{5} & \dfrac{9}{5}\end{pmatrix}
(c) Sim. Uma base de autovetores é dada por v_{1}=(1,4) e v_{2}=(1,-1), portanto
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix}.
(d) P^{-1}=\begin{pmatrix}1/5 & 1/5 \\[4pt] 4/5 & -1/5\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix}.]

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