a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{1}=\{(t, 4 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{5}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 5). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
(a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
(b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} que tenha os auto-espaços dadosE_{1}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }1\text{)}eE_{5}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }5\text{)},e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^{2}.
(c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^{2} e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (base de autovetores escrita na base canônica).
(d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas:
Os dois auto-espaços são retas geradas pelos vetores (1,4) (para autovalor 1) e (1,-1) (para autovalor 5).
Estamos trabalhando em \mathbb{R}^{2} com a base canônica padrão.
Passo 2
(a) Definições e explicação didática.
Auto-espaço associado a um autovalor: suponha que \mathrm{T}:V\to V seja uma transformação linear e \lambda\in\mathbb{R} seja um autovalor de \mathrm{T}. O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
E_{\lambda}=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
Este conjunto é um subespaço vetorial de V. Em palavras: é o conjunto de todos os vetores que, quando aplico \mathrm{T}, apenas são escalados por \lambda (não mudam de direção).
Exemplo simples: se \mathrm{T} for a transformação que dobra todos os vetores em uma direção específica e mata os outros, um vetor dessa direção é autovetor e o conjunto desses vetores forma o auto-espaço.
Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}, isto é
É o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda. Por exemplo, em \mathbb{R}^{2} uma multiplicidade geométrica pode ser 0 (se não for autovalor), 1 (uma reta de autovetores) ou 2 (o espaço todo).
Esses conceitos são importantes porque se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão do espaço (aqui 2), então existe uma base formada por autovetores (ou seja, a matriz é diagonalizável).
Passo 3
(b) Construção da transformação \mathrm{T} e da matriz A.
Ideia: escolher um autovetor não-nulo em cada auto-espaço e montar a matriz P cujas colunas são esses autovetores. A ação de \mathrm{T} nesses vetores é conhecida (multiplicação por seu autovalor). Assim, se
Esta é a matriz que representa \mathrm{T} na base canônica. (Verificação alternativa aparece no próximo passo.)]
Passo 6
Verificação alternativa e intuição prática (útil para prova): obter as colunas de A calculando \mathrm{T}(e_{1}) e \mathrm{T}(e_{2}) explicitamente.
Método: escreva cada vetor da base canônica como combinação linear dos autovetores v_{1}=(1,4) e v_{2}=(1,-1), aplique \mathrm{T} (que multiplica v_{1} por 1 e v_{2} por 5) e reconverta à base canônica.
Para e_{1}=(1,0), resolvemos \alpha v_{1}+\beta v_{2}=(1,0):
\alpha+\beta=1,\qquad 4\alpha-\beta=0.
Da segunda equação \beta=4\alpha. Substituindo na primeira:
que é a segunda coluna de A. Assim verificamos a matriz obtida por PDP^{-1}.
Passo 7
(c) Existência de base de autovetores e matriz P.
Os vetores v_{1}=(1,4) e v_{2}=(1,-1) são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro). Outra verificação: \det(P)=-5\neq 0. Portanto eles formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Logo existe base de autovetores e podemos escolher
Sabemos que, por construção, A = P D P^{-1}. Multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
P^{-1} A P = P^{-1}(P D P^{-1})P = (P^{-1}P) D (P^{-1}P) = I D I = D.
Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},
que é diagonal com os autovalores 1 e 5 na diagonal principal. Se quisermos verificar por multiplicação direta, usar-se-ia os valores numéricos já calculados de P^{-1}, A e P, obtendo a mesma diagonal.]