1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{0}=\{(2 t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 0 ) e E_{2}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2 ). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas. Vou listar exatamente o que é dado e o que é pedido, sem começar a resolver ainda.
Dados do enunciado:
  • O autoespaço associado ao autovalor 0 é
E_{0}=\{(2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
  • O autoespaço associado ao autovalor 2 é
E_{2}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Perguntas (o que o enunciado pede):
a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que tenha exatamente os auto-espaços dados e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica.
c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
d) Calcular a inversa de P e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 2

Definições pedidas em (a) — vou explicar de forma didática e com calma.
  • Auto-espaço associado a um autovalor: seja \mathrm{T}:V\to V linear e \lambda\in\mathbb{R} um autovalor. O auto-espaço correspondente, denotado por E_\lambda, é o conjunto de todos os vetores v\in V tais que \mathrm{T}(v)=\lambda v, junto com o vetor zero. Em forma simbólica:
E_\lambda=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
É um subespaço vetorial de V. Intuição: são os vetores que “apenas escalam” quando aplicamos \mathrm{T}.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_\lambda, isto é,
\text{mult. geométrica}(\lambda)=\dim(E_\lambda).é
Interpretando: quantos autovetores linearmente independentes (contando o zero não) existem associados a \lambda.
Exemplo rápido e simples para fixar: se E_\lambda é gerado por um único vetor não-nulo, então \dim(E_\lambda)=1. Se é gerado por dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, então \dim(E_\lambda)=2.

Passo 3

Identificar vetores geradores de cada auto-espaço (escolhas óbvias e úteis para fazer contas).
  • Do enunciado, E_0=\{(2t,t)\}. Então um gerador (autovetor) para E_0 é
v_1=(2,1),
pois E_0=\text{span}\{v_1\}.
  • Do enunciado, E_2=\{(t,-t)\}. Então um gerador (autovetor) para E_2 é
v_2=(1,-1),
pois E_2=\text{span}\{v_2\}.
Vou verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes (isso será importante para saber se formam base).
Calculo o determinante da matriz com colunas v_1 e v_2:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} = 2\cdot(-1)-1\cdot1 = -2-1 = -3 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, v_1 e v_2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2.
Conclusão intermediária: \dim(E_0)=1 e \dim(E_2)=1, e os dois autovetores escolhidos formam uma base de \mathbb{R}^2.]

Passo 4

Construir explicitamente a transformação linear \mathrm{T} pedida em (b).
Regra natural: como queremos que E_0 seja o auto-espaço do autovalor 0 e E_2 seja o auto-espaço do autovalor 2, definimos \mathrm{T} por linearidade exigindo:
\mathrm{T}(v_1)=0\quad\text{e}\quad \mathrm{T}(v_2)=2\,v_2.
Como v_1 e v_2 formam base de \mathbb{R}^2, essa definição estende-se de forma única a toda a transformação linear \mathrm{T}. Assim \mathrm{T} tem exatamente os auto-espaços e autovalores desejados.
Agora vou representar \mathrm{T} por uma matriz A na base canônica. A maneira mais direta e organizada é usar a matriz P cujas colunas são os autovetores v_1,v_2, e a matriz diagonal D com autovalores na diagonal:
P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
A relação padrão entre essas matrizes é
A = P\,D\,P^{-1},
pois D é a representação de \mathrm{T} na base de autovetores e P faz a mudança para a base canônica.]

Passo 5

Calcular P^{-1} passo a passo (necessário para obter A).
Determinante já calculado:
\det(P) = -3.
Fórmula da inversa de matriz 2\times2: se P=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} então
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a P=\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} obtemos
P^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[4pt] 1/3 & -2/3\end{pmatrix}.
Mostrei cada passo: cálculo do determinante e uso da fórmula padrão.]

Passo 6

Calcular agora A=P\,D\,P^{-1} explicitamente, desenvolvendo as multiplicações.
Primeiro calculo P\,D. Como D é diagonal, multiplica as colunas de P pelos autovalores:
P D = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
Agora multiplico (P D) por P^{-1}:
A = (P D) P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[4pt] 1/3 & -2/3\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação linha-coluna elemento a elemento:
  • Entrada a_{11}: (0)\cdot(1/3)+(2)\cdot(1/3)=2/3.
  • Entrada a_{12}: (0)\cdot(1/3)+(2)\cdot(-2/3)=-4/3.
  • Entrada a_{21}: (0)\cdot(1/3)+(-2)\cdot(1/3)=-2/3.
  • Entrada a_{22}: (0)\cdot(1/3)+(-2)\cdot(-2/3)=4/3.
Portanto
A=\begin{pmatrix}2/3 & -4/3\\[4pt] -2/3 & 4/3\end{pmatrix}.
Observação útil: podemos factorar 2/3:
A=\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},
mas a forma em frações é perfeitamente aceitável.]

Passo 7

Verificação de que A realmente tem os auto-espaços desejados (confiança extra — importante na prova).
Calculo A v_1 com v_1=(2,1):
A\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/3 & -4/3\\[4pt]-2/3 & 4/3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/3\cdot2 + (-4/3)\cdot1\\[4pt]-2/3\cdot2 + 4/3\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/3-4/3\\[4pt]-4/3+4/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo v_1 é autovetor de autovalor 0.
Calculo A v_2 com v_2=(1,-1):
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/3 & -4/3\\[4pt]-2/3 & 4/3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/3 -(-4/3)\\[4pt]-2/3 - 4/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Logo v_2 é autovetor de autovalor 2. Assim A está correto.]

Passo 8

Responder (c): existe base de autovetores para \mathbb{R}^2?
Sim. Como vimos, os autovetores v_1=(2,1) e v_2=(1,-1) são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2 constituída por autovetores. A matriz P pedida (colunas = autovetores na ordem correspondente aos autovalores) é
P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Calcular explicitamente P^{-1} (já feito no Passo 5) e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com autovalores na diagonal (pedido de (d)).
Relembrando,
P^{-1}=\begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[4pt]1/3 & -2/3\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}2/3 & -4/3\\[4pt]-2/3 & 4/3\end{pmatrix}.
Agora uso a identidade algébrica (válida sempre que A=PDP^{-1}):
P^{-1} A P = P^{-1} (P D P^{-1}) P = (P^{-1}P)\, D\, (P^{-1}P) = I \,D\, I = D.
Portanto P^{-1} A P = D = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}, que é diagonal com os autovalores 0 e 2 na diagonal principal.
Se for necessário um cálculo direto basta multiplicar numericamente P^{-1} A P e verificar que o resultado é \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}, mas a igualdade algébrica acima já demonstra de forma limpa e curta.]

Resposta

a) Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: E_\lambda=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_\lambda).
b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}2/3 & -4/3\\[4pt]-2/3 & 4/3\end{pmatrix}.
c) Sim, existe; uma base de autovetores é \{(2,1),(1,-1)\} e a matriz P é \displaystyle P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
d) \displaystyle P^{-1}=\begin{pmatrix}1/3 & 1/3\\[4pt]1/3 & -2/3\end{pmatrix} e \displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

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