a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{0}=\{(2 t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 0 ) e E_{2}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2 ). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas. Vou listar exatamente o que é dado e o que é pedido, sem começar a resolver ainda.
Dados do enunciado:
O autoespaço associado ao autovalor 0 é
E_{0}=\{(2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
O autoespaço associado ao autovalor 2 é
E_{2}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Perguntas (o que o enunciado pede):
a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que tenha exatamente os auto-espaços dados e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica.
c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
d) Calcular a inversa de P e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 2
Definições pedidas em (a) — vou explicar de forma didática e com calma.
Auto-espaço associado a um autovalor: seja \mathrm{T}:V\to V linear e \lambda\in\mathbb{R} um autovalor. O auto-espaço correspondente, denotado por E_\lambda, é o conjunto de todos os vetores v\in V tais que \mathrm{T}(v)=\lambda v, junto com o vetor zero. Em forma simbólica:
E_\lambda=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
É um subespaço vetorial de V. Intuição: são os vetores que “apenas escalam” quando aplicamos \mathrm{T}.
Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_\lambda, isto é,
\text{mult. geométrica}(\lambda)=\dim(E_\lambda).
Interpretando: quantos autovetores linearmente independentes (contando o zero não) existem associados a \lambda.
Exemplo rápido e simples para fixar: se E_\lambda é gerado por um único vetor não-nulo, então \dim(E_\lambda)=1. Se é gerado por dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, então \dim(E_\lambda)=2.
Passo 3
Identificar vetores geradores de cada auto-espaço (escolhas óbvias e úteis para fazer contas).
Do enunciado, E_0=\{(2t,t)\}. Então um gerador (autovetor) para E_0 é
v_1=(2,1),
pois E_0=\text{span}\{v_1\}.
Do enunciado, E_2=\{(t,-t)\}. Então um gerador (autovetor) para E_2 é
v_2=(1,-1),
pois E_2=\text{span}\{v_2\}.
Vou verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes (isso será importante para saber se formam base).
Calculo o determinante da matriz com colunas v_1 e v_2:
Como o determinante é diferente de zero, v_1 e v_2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2.
Conclusão intermediária: \dim(E_0)=1 e \dim(E_2)=1, e os dois autovetores escolhidos formam uma base de \mathbb{R}^2.]
Passo 4
Construir explicitamente a transformação linear \mathrm{T} pedida em (b).
Regra natural: como queremos que E_0 seja o auto-espaço do autovalor 0 e E_2 seja o auto-espaço do autovalor 2, definimos \mathrm{T} por linearidade exigindo:
Como v_1 e v_2 formam base de \mathbb{R}^2, essa definição estende-se de forma única a toda a transformação linear \mathrm{T}. Assim \mathrm{T} tem exatamente os auto-espaços e autovalores desejados.
Agora vou representar \mathrm{T} por uma matriz A na base canônica. A maneira mais direta e organizada é usar a matriz P cujas colunas são os autovetores v_1,v_2, e a matriz diagonal D com autovalores na diagonal:
Logo v_2 é autovetor de autovalor 2. Assim A está correto.]
Passo 8
Responder (c): existe base de autovetores para \mathbb{R}^2?
Sim. Como vimos, os autovetores v_1=(2,1) e v_2=(1,-1) são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2 constituída por autovetores. A matriz P pedida (colunas = autovetores na ordem correspondente aos autovalores) é
Agora uso a identidade algébrica (válida sempre que A=PDP^{-1}):
P^{-1} A P = P^{-1} (P D P^{-1}) P = (P^{-1}P)\, D\, (P^{-1}P) = I \,D\, I = D.
Portanto P^{-1} A P = D = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}, que é diagonal com os autovalores 0 e 2 na diagonal principal.
Se for necessário um cálculo direto basta multiplicar numericamente P^{-1} A P e verificar que o resultado é \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}, mas a igualdade algébrica acima já demonstra de forma limpa e curta.]
Resposta
a) Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: E_\lambda=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_\lambda).
b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}2/3 & -4/3\\[4pt]-2/3 & 4/3\end{pmatrix}.
c) Sim, existe; uma base de autovetores é \{(2,1),(1,-1)\} e a matriz P é \displaystyle P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.