1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{1}=\{(t, 5 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{4}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 4). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O exercício pede quatro coisas:
  1. (a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  2. (b) Construir uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços são dados por E_{1}=\{(t,5t)\mid t\in\mathbb{R}\} com autovalor 1 e E_{4}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\} com autovalor 4; apresentar a matriz A de \mathrm{T} na base canônica.
  3. (c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2. Se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a base de autovetores) em relação à base canônica.
  4. (d) Calcular a inversa de P e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas que vamos usar:
  • Auto-espaço para autovalor 1: \;E_1=\{(t,5t)\} (logo um autovetor escolhido é (1,5)).
  • Auto-espaço para autovalor 4: \;E_4=\{(t,-t)\} (logo um autovetor escolhido é (1,-1)).

Passo 2

(a) Definições (com explicação didática).
  • Auto-espaço associado ao autovalor \lambda: é o conjunto de vetores não nulos v tais que \mathrm{T}(v)=\lambda v, junto com o vetor zero. Em notação
\text{Aut\_espaço}(\lambda)=\{v\in\mathbb{R}^n \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I).ç
Explicação: isso significa que todo vetor do auto-espaço é “apontado” por \mathrm{T} apenas por um fator escalar \lambda. Dizer \ker(\mathrm{T}-\lambda I) significa todos os vetores que quando aplicamos \mathrm{T}-\lambda I viram o vetor zero.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço associado a \lambda, ou seja
\text{mult. geométrica}(\lambda)=\dim\big(\ker(\mathrm{T}-\lambda I)\big).é
Explicação: conta quantos autovetores linearmente independentes correspondem ao mesmo autovalor. Por exemplo, se o auto-espaço tem dimensão 1, a multiplicidade geométrica é 1; se for toda \mathbb{R}^2, a multiplicidade geométrica é 2.

Passo 3

(b) Construção da transformação linear e escolha dos autovetores.
  • Para trabalhar, escolhemos vetores representativos nos auto-espaços dados: tome
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}\in E_1,\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\in E_4.
(Escolhi t=1 em cada auto-espaço por simplicidade.)
  • Como \{v_1,v_2\} são dois vetores de \mathbb{R}^2, verifico se são linearmente independentes calculando o determinante da matriz formada por eles como colunas:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot5=-1-5=-6\neq0,
logo v_1 e v_2 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2.
  • Defino \mathrm{T} pela regra linear que manda v_1 em 1\cdot v_1 e v_2 em 4\cdot v_2. Como v_1,v_2 formam base, isso determina \mathrm{T} unicamente em todo \mathbb{R}^2.
  • Para obter a matriz A de \mathrm{T} na base canônica, uso a relação matricial padrão: se P é a matriz cujas colunas são os autovetores (v_1,v_2) e D é a matriz diagonal com autovalores correspondentes, então
A = P\,D\,P^{-1}, \qquad\text{onde}\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de P^{-1} (necessário para A).
  • Já temos
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}, \qquad \det(P)=-6.
  • A inversa de uma 2\times2 é dada por
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}
para P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}. Aplicando:
P^{-1}=\frac{1}{-6}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-5 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/6 & 1/6\\[4pt]5/6 & -1/6\end{pmatrix}.
Verificação rápida: P P^{-1}=I (pode checar multiplicando se quiser).]

Passo 5

Cálculo explícito de A=P D P^{-1} com contas passo-a-passo.
  • Primeiro calculo P D:
P D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1 & 1\cdot4\\[4pt]5\cdot1 & -1\cdot4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]5 & -4\end{pmatrix}.
  • Agora multiplico por P^{-1}:
A = (P D) P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]5 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/6 & 1/6\\[4pt]5/6 & -1/6\end{pmatrix}.
Faço cada entrada:
  • Entrada (1,1): 1\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{5}{6} = \frac{1}{6}+\frac{20}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}.
  • Entrada (1,2): 1\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{4}{6}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.
  • Entrada (2,1): 5\cdot\frac{1}{6} + (-4)\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{6}-\frac{20}{6}=-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}.
  • Entrada (2,2): 5\cdot\frac{1}{6} + (-4)\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{5}{6}+\frac{4}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.
Portanto
A=\begin{pmatrix}7/2 & -1/2\\[4pt]-5/2 & 3/2\end{pmatrix}.
  • Checagem (rápida): A v_1 = v_1 e A v_2 = 4 v_2. Ex.: A\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix} e A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} (pode verificar multiplicando).]

Passo 6

(c) Existe base de autovetores?
  • Sim. Já demonstramos que \{v_1,v_2\}=\{(1,5),(1,-1)\} é uma base de \mathbb{R}^2 porque são linearmente independentes ( \det(P)=-6\neq0). Logo existe base de autovetores. A matriz P cujas colunas são esses autovetores (base de autovetores) é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 7

(d) Inversa de P (já calculada) e demonstração de que P^{-1} A P é diagonal com autovalores na diagonal.
  • Já achamos
P^{-1}=\begin{pmatrix}1/6 & 1/6\\[4pt]5/6 & -1/6\end{pmatrix}.
  • Dois modos de ver que P^{-1} A P é diagonal com autovalores: cálculo direto ou observação algébrica. Observação algébrica (mais rápida e conceitual): como definimos A=P D P^{-1}, multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
P^{-1} A P = P^{-1} (P D P^{-1}) P = (P^{-1}P)\,D\,(P^{-1}P) = I\,D\,I = D.
Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix},
que é diagonal com os autovalores 1 e 4 na diagonal principal.
  • Se preferir, pode verificar multiplicando numericamente P^{-1} A P e confirmará o mesmo resultado.]

Resposta

(a) O auto-espaço associado ao autovalor \lambda é \ker(\mathrm{T}-\lambda I)=\{v\in\mathbb{R}^n\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim\big(\ker(\mathrm{T}-\lambda I)\big).
(b) A=\begin{pmatrix}7/2 & -1/2\\[4pt]-5/2 & 3/2\end{pmatrix}.
(c) Sim. Uma base de autovetores é \{(1,5),(1,-1)\} e a matriz P cujas colunas são esses vetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}.
(d) P^{-1}=\begin{pmatrix}1/6 & 1/6\\[4pt]5/6 & -1/6\end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

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