- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 1) e
(autovalor 4). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O exercício pede quatro coisas:
- (a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
- (b) Construir uma transformação linear
cujos auto-espaços são dados por com autovalor e com autovalor ; apresentar a matriz de na base canônica. - (c) Dizer se existe base de autovetores para
. Se existir, obter a matriz cujas colunas são esses autovetores (a base de autovetores) em relação à base canônica. - (d) Calcular a inversa de
e mostrar que é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas que vamos usar:
- Auto-espaço para autovalor
: (logo um autovetor escolhido é ). - Auto-espaço para autovalor
: (logo um autovetor escolhido é ).
Passo 2
(a) Definições (com explicação didática).
- Auto-espaço associado ao autovalor
: é o conjunto de vetores não nulos tais que , junto com o vetor zero. Em notação
Explicação: isso significa que todo vetor do auto-espaço é “apontado” por
apenas por um fator escalar
. Dizer
significa todos os vetores que quando aplicamos
viram o vetor zero.
- Multiplicidade geométrica de um autovalor
: é a dimensão do auto-espaço associado a , ou seja
Explicação: conta quantos autovetores linearmente independentes correspondem ao mesmo autovalor. Por exemplo, se o auto-espaço tem dimensão
, a multiplicidade geométrica é
; se for toda
, a multiplicidade geométrica é
.
Passo 3
(b) Construção da transformação linear e escolha dos autovetores.
- Para trabalhar, escolhemos vetores representativos nos auto-espaços dados: tome
(Escolhi
em cada auto-espaço por simplicidade.)
- Como
são dois vetores de , verifico se são linearmente independentes calculando o determinante da matriz formada por eles como colunas:
O determinante é
logo
e
são linearmente independentes e formam uma base de
.
- Defino
pela regra linear que manda em e em . Como formam base, isso determina unicamente em todo . - Para obter a matriz
de na base canônica, uso a relação matricial padrão: se é a matriz cujas colunas são os autovetores e é a matriz diagonal com autovalores correspondentes, então
Passo 4
Cálculo de
(necessário para
).
- Já temos
- A inversa de uma
é dada por
para
. Aplicando:
Verificação rápida:
(pode checar multiplicando se quiser).]
Passo 5
Cálculo explícito de
com contas passo-a-passo.
- Primeiro calculo
:
- Agora multiplico por
:
Faço cada entrada:
- Entrada
: - Entrada
: - Entrada
: - Entrada
:
Portanto
- Checagem (rápida):
e . Ex.: e (pode verificar multiplicando).]
Passo 6
(c) Existe base de autovetores?
- Sim. Já demonstramos que
é uma base de porque são linearmente independentes ( ). Logo existe base de autovetores. A matriz cujas colunas são esses autovetores (base de autovetores) é
Passo 7
(d) Inversa de
(já calculada) e demonstração de que
é diagonal com autovalores na diagonal.
- Já achamos
- Dois modos de ver que
é diagonal com autovalores: cálculo direto ou observação algébrica. Observação algébrica (mais rápida e conceitual): como definimos , multiplicando à esquerda por e à direita por obtemos
Portanto
que é diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.
- Se preferir, pode verificar multiplicando numericamente
e confirmará o mesmo resultado.]
Resposta
(a) O auto-espaço associado ao autovalor
é
. A multiplicidade geométrica de
é
.
(b)
(c) Sim. Uma base de autovetores é
e a matriz
cujas colunas são esses vetores é
(d)
]