a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{-2}=\{(t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor -2 ) e E_{3}=\{(t,-2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 3). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas distintas, que vou listar claramente para não nos perdermos:
(a) Definir o que é o auto-espaço associado a um autovalor e definir multiplicidade geométrica de um autovalor.
(b) Construir uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que tenha os auto-espaços dados
E_{-2}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}
(com autovalor -2) e
E_{3}=\{(t,-2t)\mid t\in\mathbb{R}\}
(com autovalor 3), e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^2.
(c) Perguntar se existe uma base de autovetores para \mathbb{R}^2. Se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (essa matriz passa da base de autovetores para a base canônica).
(d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas explicitamente pelo enunciado que usaremos:
E_{-2}=\{(t,t)\} (logo um vetor gerador é (1,1)) com autovalor -2.
E_{3}=\{(t,-2t)\} (logo um vetor gerador é (1,-2)) com autovalor 3.
A resolução começa efetivamente no próximo passo.
Passo 2
(a) Definições e explicação didática (sem pular etapas).
Auto-espaço associado a um autovalor \lambda:
Dado uma transformação linear \mathrm{T}:V\to V (aqui V=\mathbb{R}^2), o auto-espaço associado ao autovalor \lambda é o conjunto de todos os vetores v\in V que satisfazem \mathrm{T}(v)=\lambda v, junto com o vetor zero. Em símbolos:
E_{\lambda}=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I).
Intuição: são todos os vetores que a transformação apenas escala (multiplica) por \lambda; geometricamente são uma reta (ou o subespaço \{0\}) em \mathbb{R}^2.
Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda:
É a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}. Denotamos \dim(E_{\lambda}).
Em \mathbb{R}^2, a multiplicidade geométrica de um autovalor pode ser 0 (se \lambda não é autovalor), 1 (auto-espaço é uma reta) ou 2 (a transformação é um múltiplo da identidade e tudo é autovetor).
Exemplo simples: para uma matriz diagonal \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}, o autovalor 2 tem auto-espaço \{(t,0)\} e multiplicidade geométrica 1; o autovalor 3 tem auto-espaço \{(0,t)\} e multiplicidade geométrica 1.
Comentário amigo: pense no auto-espaço como a reta de vetores que “apenas esticam/encolhem” sob \mathrm{T}; a multiplicidade geométrica diz quantas direções linearmente independentes se comportam assim para o mesmo \lambda.
Passo 3
(b) Identificação dos autovetores geradores dos auto-espaços e verificação de independência.
A partir do enunciado temos explicitamente os geradores:
Para E_{-2}: um vetor não-nulo gerador é v_1=(1,1), pois qualquer (t,t)=t(1,1).
Para E_{3}: um vetor não-nulo gerador é v_2=(1,-2), pois qualquer (t,-2t)=t(1,-2).
Verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes (isto é essencial para saber se formam base):
Para vetores em \mathbb{R}^2, uma maneira direta é calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Comentário amigo: essas verificações são rápidas e te dão segurança de que a matriz A está correta.]
Passo 7
(d) Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Observação teórica curta: se as colunas de P são autovetores com autovalores correspondentes na diagonal de D, então A=P D P^{-1}. Multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
P^{-1} A P = P^{-1} (P D P^{-1}) P = (P^{-1} P) D (P^{-1} P) = I D I = D.
Para não ficar só na teoria, faço a multiplicação numérica verificando P^{-1}(A P)=D (é a mesma ideia):
Já calculamos A P = P D = \begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]-2 & -6\end{pmatrix}.
Conclusão: P^{-1} A P = \begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}, ou seja, A é diagonalizável e a diagonal contém justamente os autovalores -2 e 3.]
Resposta
(a) O auto-espaço associado a \lambda é E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).