1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{1}=\{(t, 3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{6}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 6). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas e dá as seguintes informações:
  • a) Definir o autoespaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  • b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos autoespaços são E_{1}=\{(t,3t)\mid t\in\mathbb{R}\}(associado ao autovalor 1) e E_{6}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}(associado ao autovalor 6), e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^2.
  • c) Decidir se existe uma base de autovetores de \mathbb{R}^2. Se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
  • d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Dados relevantes do enunciado (listados):
  • Autoespaço de autovalor 1: E_1=\{(t,3t)\}.
  • Autoespaço de autovalor 6: E_6=\{(t,-t)\}.
  • Queremos a matriz de \mathrm{T} na base canônica e_1=(1,0),e_2=(0,1).

Passo 2

Definições (explicação didática e passo a passo):
  • Autovalor e autovetor (rápida lembrança): um vetor não-nulo v é autovetor de uma transformação linear \mathrm{T} se existe um escalar \lambda tal que \mathrm{T}(v)=\lambda v. O escalar \lambda é chamado autovalor associado a v.
  • Autoespaço (definição pedida): para um autovalor \lambda, o autoespaço associado, que chamamos de E_\lambda, é o conjunto de todos os vetores que satisfazem \mathrm{T}(v)=\lambda v, junto com o vetor nulo. Formalmente,
    E_\lambda=\{v\in\mathbb{R}^n \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
    Observação didática: E_\lambda é um subespaço vetorial (fechado por soma e multiplicação por escalar). Em termos matriciais, se A representa \mathrm{T}, então
    E_\lambda=\ker(A-\lambda I)=\{v\mid (A-\lambda I)v=0\}.
  • Multiplicidade geométrica (definição pedida): a multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do autoespaço E_\lambda:
    \text{mult geom}(\lambda)=\dim(E_\lambda).
    Explicação: ela diz quantos autovetores linearmente independentes existem associados a \lambda. Por exemplo, se \dim(E_\lambda)=1, há apenas uma direção de autovetores; se =2 (em \mathbb{R}^2), todos os vetores são autovetores (caso degenerate).

Passo 3

Escolha de autovetores que geram os autoespaços dados (fase construtiva):
  • Do autoespaço E_1=\{(t,3t)\} escolho o autovetor não-nulo
    v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},
    porque para qualquer t um vetor em E_1 é t\,v_1.
  • Do autoespaço E_6=\{(t,-t)\} escolho o autovetor não-nulo
    v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
    porque qualquer vetor em E_6 é t\,v_2.
Esses vetores satisfazem
\mathrm{T}(v_1)=1\cdot v_1,\qquad \mathrm{T}(v_2)=6\cdot v_2.]

Passo 4

Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes (assim formam base) e construir P:
  • Montamos a matriz P cujas colunas são v_1 e v_2:
    P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.
  • Determinante de P:
    \det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot 3=-1-3=-4\neq 0.
    Como \det(P)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e, portanto, \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2. Isso responde a parte (c): existe sim uma base de autovetores.]

Passo 5

Fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 e cálculo de P^{-1}:
  • Fórmula (lembrete didático): para
    M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
    se \det(M)=ad-bc\neq 0 então
    M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
  • Aplicando a fórmula em P=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]3&-1\end{pmatrix} com \det(P)=-4:
    P^{-1}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]3/4 & -1/4\end{pmatrix}.
    Verificação rápida (didática): multiplicando P^{-1}P obtemos a identidade (checagem feita mental/rápida), confirmando que o inverso está correto.]

Passo 6

Construir a matriz diagonal D dos autovalores e explicar por que A = P D P^{-1}:
  • Como v_1 e v_2 são autovetores com autovalores 1 e 6, respectivamente, a matriz diagonal associada é D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}.Lembrete didático: se P tem colunas autovetores, então a representação de \mathrm{T} nessa base diagonaliza a transformação, o que algebraicamente dá A=PDP^{-1} (essa é a forma padrão de diagonalização).]

Passo 7

Calcular explicitamente A=PDP^{-1} (contas passo a passo sem pular):
  • Primeiro calcule P D. Como D multiplica as colunas de P por 1 e 6, respectivamente:
    P D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]3 & -6\end{pmatrix}.
  • Agora multiplica-se (P D) por P^{-1}:
    A=(P D)P^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]3 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]3/4 & -1/4\end{pmatrix}.
  • Calcule cada entrada (faça como na prova, multiplicação de linhas por colunas):
    • Entrada (1,1): 1\cdot\frac{1}{4}+6\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{18}{4}=\frac{19}{4}.
    • Entrada (1,2): 1\cdot\frac{1}{4}+6\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}-\frac{6}{4}=-\frac{5}{4}.
    • Entrada (2,1): 3\cdot\frac{1}{4}+(-6)\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}-\frac{18}{4}=-\frac{15}{4}.
    • Entrada (2,2): 3\cdot\frac{1}{4}+(-6)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}+\frac{6}{4}=\frac{9}{4}.
  • Portanto a matriz A na base canônica é
    A=\begin{pmatrix} \tfrac{19}{4} & -\tfrac{5}{4}\\[6pt] -\tfrac{15}{4} & \tfrac{9}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal (dupla verificação: argumento conceptual + cálculo explícito):
  • Argumento conceitual: como montamos A=PDP^{-1}, multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
    P^{-1} A P = P^{-1}(P D P^{-1})P = (P^{-1}P) D (P^{-1}P)=I D I = D.
    Logo P^{-1}AP=D, que é diagonal com entradas 1 e 6 na diagonal.
  • Cálculo explícito (verificação numérica, útil para a prova): já temos
    P^{-1}=\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]3/4 & -1/4\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}19/4 & -5/4\\[4pt]-15/4 & 9/4\end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.
    Primeiro calcule P^{-1}A:
    P^{-1}A=\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]3/4 & -1/4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}19/4 & -5/4\\[4pt]-15/4 & 9/4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]9/2 & -3/2\end{pmatrix}.
    (cada entrada obtida por produto linha-por-coluna; quem quiser pode conferir os produtos e somas como no Passo 7).
    Agora multiplique (P^{-1}A)P:
    (P^{-1}A)P=\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]9/2 & -3/2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}=D.
    As contas dão exatamente a matriz diagonal \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&6\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resumo interpretativo e incentivo (curto):
  • Concluímos que a transformação linear \mathrm{T} que tem os autoespaços pedidos existe, é representada na base canônica pela matriz A calculada, que é diagonalizável porque existe uma base de autovetores (colunas de P). No exame, montar P com autovetores e usar A=PDP^{-1} é o caminho mais direto; calcular P^{-1} em 2\times2 é rotina, e a multiplicação confirma a diagonalização.

Resposta

a) Autoespaço associado a \lambda: E_\lambda=\{v\in\mathbb{R}^n\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(A-\lambda I). Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_\lambda).
b) A=\begin{pmatrix}\tfrac{19}{4} & -\tfrac{5}{4}\\[6pt] -\tfrac{15}{4} & \tfrac{9}{4}\end{pmatrix}.
c) Sim, existe base de autovetores. Uma matriz P cuja coluna são autovetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.
d) P^{-1}=\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt]3/4 & -1/4\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}.]

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