a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{1}=\{(t, 3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{6}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 6). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas e dá as seguintes informações:
a) Definir o autoespaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos autoespaços sãoE_{1}=\{(t,3t)\mid t\in\mathbb{R}\}(associado ao autovalor 1) eE_{6}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}(associado ao autovalor 6), e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^2.
c) Decidir se existe uma base de autovetores de \mathbb{R}^2. Se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Dados relevantes do enunciado (listados):
Autoespaço de autovalor 1: E_1=\{(t,3t)\}.
Autoespaço de autovalor 6: E_6=\{(t,-t)\}.
Queremos a matriz de \mathrm{T} na base canônica e_1=(1,0),e_2=(0,1).
Passo 2
Definições (explicação didática e passo a passo):
Autovalor e autovetor (rápida lembrança): um vetor não-nulo v é autovetor de uma transformação linear \mathrm{T} se existe um escalar \lambda tal que \mathrm{T}(v)=\lambda v. O escalar \lambda é chamado autovalor associado a v.
Autoespaço (definição pedida): para um autovalor \lambda, o autoespaço associado, que chamamos de E_\lambda, é o conjunto de todos os vetores que satisfazem \mathrm{T}(v)=\lambda v, junto com o vetor nulo. Formalmente,
Observação didática: E_\lambda é um subespaço vetorial (fechado por soma e multiplicação por escalar). Em termos matriciais, se A representa \mathrm{T}, então
Multiplicidade geométrica (definição pedida): a multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do autoespaço E_\lambda:
\text{mult geom}(\lambda)=\dim(E_\lambda).
Explicação: ela diz quantos autovetores linearmente independentes existem associados a \lambda. Por exemplo, se \dim(E_\lambda)=1, há apenas uma direção de autovetores; se =2 (em \mathbb{R}^2), todos os vetores são autovetores (caso degenerate).
Passo 3
Escolha de autovetores que geram os autoespaços dados (fase construtiva):
Do autoespaço E_1=\{(t,3t)\} escolho o autovetor não-nulo
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},
porque para qualquer t um vetor em E_1 é t\,v_1.
Do autoespaço E_6=\{(t,-t)\} escolho o autovetor não-nulo
Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes (assim formam base) e construir P:
Montamos a matriz P cujas colunas são v_1 e v_2:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.
Determinante de P:
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot 3=-1-3=-4\neq 0.
Como \det(P)\neq 0, as colunas são linearmente independentes e, portanto, \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2. Isso responde a parte (c): existe sim uma base de autovetores.]
Passo 5
Fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 e cálculo de P^{-1}:
Verificação rápida (didática): multiplicando P^{-1}P obtemos a identidade (checagem feita mental/rápida), confirmando que o inverso está correto.]
Passo 6
Construir a matriz diagonal D dos autovalores e explicar por que A = P D P^{-1}:
Como v_1 e v_2 são autovetores com autovalores 1 e 6, respectivamente, a matriz diagonal associada éD=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}.Lembrete didático: se P tem colunas autovetores, então a representação de \mathrm{T} nessa base diagonaliza a transformação, o que algebraicamente dá A=PDP^{-1} (essa é a forma padrão de diagonalização).]
Passo 7
Calcular explicitamente A=PDP^{-1} (contas passo a passo sem pular):
Primeiro calcule P D. Como D multiplica as colunas de P por 1 e 6, respectivamente:
P D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]3 & -6\end{pmatrix}.
As contas dão exatamente a matriz diagonal \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&6\end{pmatrix}.]
Passo 9
Resumo interpretativo e incentivo (curto):
Concluímos que a transformação linear \mathrm{T} que tem os autoespaços pedidos existe, é representada na base canônica pela matriz A calculada, que é diagonalizável porque existe uma base de autovetores (colunas de P). No exame, montar P com autovetores e usar A=PDP^{-1} é o caminho mais direto; calcular P^{-1} em 2\times2 é rotina, e a multiplicação confirma a diagonalização.
Resposta
a) Autoespaço associado a \lambda: E_\lambda=\{v\in\mathbb{R}^n\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(A-\lambda I). Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_\lambda).
b) A=\begin{pmatrix}\tfrac{19}{4} & -\tfrac{5}{4}\\[6pt] -\tfrac{15}{4} & \tfrac{9}{4}\end{pmatrix}.
c) Sim, existe base de autovetores. Uma matriz P cuja coluna são autovetores é