a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
Considere o conjunto S=\left\{\mathbf{v}_{1}=(1,1,-1,2), \mathbf{v}_{2}=(1,1,1,0), \mathbf{v}_{3}=(1,1,0,1), \mathbf{v}_{4}=(1,0,1,1)\right\} \subset \mathbb{R}^{4} e o subespaço vetorial W=L(S).
b) Determine uma base e a dimensão de W.
c) Determine se \boldsymbol{v}=(1,1,1,1) \in W.
d) Use o método de Gram-Sehmidt para determinar uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas. Primeiro (a) definir o que é base e dimensão de um espaço vetorial. Depois, dado
S=\{v_{1}=(1,1,-1,2),\;v_{2}=(1,1,1,0),\;v_{3}=(1,1,0,1),\;v_{4}=(1,0,1,1)\}\subset\mathbb{R}^{4}
e W=\mathrm{span}(S), pede (b) determinar uma base e a dimensão de W, (c) verificar se v=(1,1,1,1) pertence a W, e (d) usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.

Passo 2

Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera V. A dimensão de V é o número de vetores dessa base.

Passo 3

Para achar uma base de W=\mathrm{span}(S) montamos a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} e fazemos eliminação de Gauss. O posto dá a dimensão de W e as colunas-pivô indicam quais v_i são independentes. O posto é 3, e as colunas-pivô são as de v_{1},v_{2},v_{4}. Logo
\{\,v_{1},\,v_{2},\,v_{4}\}
é uma base de W e \dim(W)=3.

Passo 4

Para ver se v=(1,1,1,1) está em W, tentamos resolver
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{4}=v.
O sistema resultante é incompatível, logo v\notin W.

Passo 5

Aplicamos Gram–Schmidt em \{v_{1},v_{2},v_{4}\}. Tomando
u_{1}=v_{1},\quad u_{2}=v_{2}-\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1},\quad u_{3}=v_{4}-\frac{\langle v_{4},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1}-\frac{\langle v_{4},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2},
obtém-se, após escalar cada vetor para inteiros,
u_{1}=(1,1,-1,2),\quad u_{2}=(6,6,8,-2),\quad u_{3}=(1,-4,3,3),
que são mutuamente ortogonais.

Resposta

a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera V. A dimensão de V é o número de vetores dessa base.
b) Uma base de W é \{(1,1,-1,2),\,(1,1,1,0),\,(1,0,1,1)\} e \dim(W)=3.
c) (1,1,1,1)\notin W.
d) Uma base ortogonal de W é
\{(1,1,-1,2),\;(6,6,8,-2),\;(1,-4,3,3)\}.

Exercícios relacionados