a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
Considere o conjunto
e o subespaço vetorial
.
b) Determine uma base e a dimensão de
.
c) Determine se
.
d) Use o método de Gram-Sehmidt para determinar uma base ortogonal de
.
b) Determine uma base e a dimensão de
c) Determine se
d) Use o método de Gram-Sehmidt para determinar uma base ortogonal de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas. Primeiro (a) definir o que é base e dimensão de um espaço vetorial. Depois, dado
e
, pede (b) determinar uma base e a dimensão de
, (c) verificar se
pertence a
, e (d) usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de
.
Passo 2
Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera
. A dimensão de
é o número de vetores dessa base.
Passo 3
Para achar uma base de
montamos a matriz cujas colunas são
e fazemos eliminação de Gauss. O posto dá a dimensão de
e as colunas-pivô indicam quais
são independentes. O posto é
, e as colunas-pivô são as de
. Logo
é uma base de
e
.
Passo 4
Para ver se
está em
, tentamos resolver
O sistema resultante é incompatível, logo
Passo 5
Aplicamos Gram–Schmidt em
. Tomando
obtém-se, após escalar cada vetor para inteiros,
que são mutuamente ortogonais.
Resposta
a) Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera
. A dimensão de
é o número de vetores dessa base.
b) Uma base de é
e
.
c) .
d) Uma base ortogonal de é
b) Uma base de
c)
d) Uma base ortogonal de