Seja A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}).
Mostre que A é invertível se, e somente se \operatorname{det}(A) \neq 0;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma matriz quadrada A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0. O conteúdo de teoria que vamos usar inclui:
  1. A propriedade de multiplicatividade do determinante
\det(AB)=\det(A)\,\det(B),
para quaisquer A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R}).
2. A existência da matriz adjunta (ou adjugata) \adj(A), formada pelos cofatores de A, que satisfaz a identidade em bloco
A\,\adj(A)=\det(A)\,I_{n},
onde I_{n} é a matriz identidade de ordem n.

Passo 2

Mostramos primeiro que A invertível implica \det(A)\neq0. Suponha que A seja invertível; então existe B\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) tal que
A\,B = I_{n}.
Tomando determinantes em ambos os lados e usando multiplicatividade, obtemos
\det(A)\,\det(B) = \det(I_{n}) = 1.
Como \det(B) é um número real finito, desta igualdade segue imediatamente \det(A)\neq0.

Passo 3

Agora provamos que \det(A)\neq0 implica A invertível. Suponha \det(A)\neq0. Pela definição da matriz adjunta, vale
A\,\adj(A)=\det(A)\,I_{n}.
Como \det(A) é invertível em \mathbb{R}, podemos multiplicar à direita por \tfrac{1}{\det(A)} e obter
A\Bigl(\tfrac{1}{\det(A)}\,\adj(A)\Bigr)=I_{n}.
Isto mostra que a matriz \tfrac{1}{\det(A)}\,\adj(A) é a inversa de A, logo A é invertível.

Resposta

Concluímos que A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0.

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