Seja
.
Mostre que
é invertível se, e somente se
;
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se,
. O conteúdo de teoria que vamos usar inclui:
- A propriedade de multiplicatividade do determinante
para quaisquer
.
2. A existência da matriz adjunta (ou adjugata) , formada pelos cofatores de , que satisfaz a identidade em bloco
2. A existência da matriz adjunta (ou adjugata) , formada pelos cofatores de
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
invertível implica
. Suponha que
seja invertível; então existe
tal que
Tomando determinantes em ambos os lados e usando multiplicatividade, obtemos
Como
é um número real finito, desta igualdade segue imediatamente
.
Passo 3
Agora provamos que
implica
invertível. Suponha
. Pela definição da matriz adjunta, vale
Como
é invertível em
, podemos multiplicar à direita por
e obter
Isto mostra que a matriz
é a inversa de
, logo
é invertível.
Resposta
Concluímos que
é invertível se, e somente se,
.