a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço
e
de
.
b) Determine uma base
e a dimensìo de
.
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal
de
.
d) Determine a matriz mudança de base da base
para a base
.
b) Determine uma base
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal
d) Determine a matriz mudança de base da base
Passo 1
O enunciado tem quatro partes. Na (a) pede as definições de conjunto de vetores linearmente independentes e de vetores linearmente dependentes. Na (b) temos o subespaço
e precisamos encontrar uma base
de
e sua dimensão. Na (c) vamos aplicar o método de Gram–Schmidt em
para obter uma base ortogonal
. Na (d) determinamos a matriz de mudança de base de
para
.
Passo 2
Definimos:
Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema
Um conjunto de vetores
é
. Caso contrário — ou seja, se existir uma combinação não trivial com alguns
— dizemos que o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Para achar
e
resolvemos as equações
Da segunda vem
. Da primeira,
. Assim
Logo
é um conjunto gerador e, como são dois vetores independentes, é base de
. Portanto
Passo 4
Aplicamos Gram–Schmidt a
e
. Definimos
Como
e
, segue
Então uma base ortogonal é
Passo 5
Para achar a matriz de mudança de base de
para
queremos
tal que, para qualquer
,
Bastam as colunas de
serem as coordenadas de
e
(base
) em
. Escrevemos
Logo
Resposta
(a) Um conjunto
é linearmente independente se
implica
; caso contrário é linearmente dependente.
(b) ,
.
(c) .
(d)
(b)
(c)
(d)