a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere o subespaço W=\left\{\mathbf{v}=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y-z=0\right. e \left.y-t=0\right\} de \mathbb{R}^{4}.
b) Determine uma base \alpha e a dimensìo de W.
c) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal \beta de \mathbb{W}.
d) Determine a matriz mudança de base da base \alpha para a base \beta.

Passo 1

O enunciado tem quatro partes. Na (a) pede as definições de conjunto de vetores linearmente independentes e de vetores linearmente dependentes. Na (b) temos o subespaço
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y-z=0,\;y-t=0\}
e precisamos encontrar uma base \alpha de W e sua dimensão. Na (c) vamos aplicar o método de Gram–Schmidt em \alpha para obter uma base ortogonal \beta. Na (d) determinamos a matriz de mudança de base de \alpha para \beta.

Passo 2

Definimos:
Um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução do sistema
a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0
é a_1=\cdots=a_k=0. Caso contrário — ou seja, se existir uma combinação não trivial com alguns a_i\neq0 — dizemos que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Para achar \alpha e \dim W resolvemos as equações
x+y-z=0,\quad y-t=0.
Da segunda vem t=y. Da primeira, x=z-y. Assim
(x,y,z,t)=(z-y,\;y,\;z,\;y)=y\,(-1,1,0,1)+z\,(1,0,1,0).
Logo \{(-1,1,0,1),\,(1,0,1,0)\} é um conjunto gerador e, como são dois vetores independentes, é base de W. Portanto
\alpha=\{(-1,1,0,1),\;(1,0,1,0)\}, \qquad \dim W=2.

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt a v_1=(-1,1,0,1) e v_2=(1,0,1,0). Definimos
u_1=v_1, \qquad u_2=v_2-\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1.
Como \langle v_2,u_1\rangle=1\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot0+0\cdot1=-1 e \langle u_1,u_1\rangle=(-1)^2+1^2+0^2+1^2=3, segue
u_2 = v_2 -\bigl(-\tfrac13\bigr)u_1 = v_2 + \tfrac13\,u_1 =\bigl(\tfrac23,\tfrac13,1,\tfrac13\bigr).
Então uma base ortogonal é
\beta=\{u_1,\,u_2\} =\{(-1,1,0,1),\;(2/3,1/3,1,1/3)\}.

Passo 5

Para achar a matriz de mudança de base de \alpha para \beta queremos P tal que, para qualquer v,
[v]_{\beta}=P\,[v]_{\alpha}.
Bastam as colunas de P serem as coordenadas de v_1 e v_2 (base \alpha) em \beta. Escrevemos
v_1=1\cdot u_1+0\cdot u_2, \qquad v_2=-\tfrac13\,u_1+1\cdot u_2.
Logo
P_{\alpha\to\beta} =\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac13\\[6pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) Um conjunto \{v_1,\ldots,v_k\} é linearmente independente se
a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0
implica a_1=\cdots=a_k=0; caso contrário é linearmente dependente.
(b) \alpha=\{(-1,1,0,1),(1,0,1,0)\}, \dim W=2.
(c) \beta=\{(-1,1,0,1),\;(2/3,1/3,1,1/3)\}.
(d)
P_{\alpha\to\beta} =\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac13\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados