Seja A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}).
Calcule o determinante da seguinte matriz
\left(\begin{array}{cccc} 27 & -2 & 101 & 6 \\\\ -27 & 12 & -101 & -36 \\\\ 27 & 1 & 101 & -3 \\\\ -52 & 7 & -202 & -21 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4. O conteúdo que vamos usar é operação elementar de linha (que não altera o determinante) e o fato de que, se duas linhas ficam proporcionais, o determinante é zero.

Passo 2

Aplicamos operações de linha que preservam o determinante:
  1. Substituímos a linha 3 por \text{linha}_3 - \text{linha}_1.
  2. Substituímos a linha 2 por \text{linha}_2 + \text{linha}_1.
  3. Substituímos a linha 4 por \text{linha}_4 + 2\,\text{linha}_1.

Passo 3

Após essas operações, a matriz fica
\begin{pmatrix} 27 & -2 & 101 & 6\\\\ 0 & 10 & 0 & -30\\\\ 0 & 3 & 0 & -9\\\\ 2 & 3 & 0 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Repare que a linha 2 \bigl(0,10,0,-30\bigr) é \tfrac{10}{3} vezes a linha 3 \bigl(0,3,0,-9\bigr). Como duas linhas são proporcionais, o determinante dessa matriz é zero.

Resposta

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