Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+\cos z=1\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
T = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x+y+\cos z = 1\}
é subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos checar três propriedades: (i) o vetor zero está em T, (ii) T é fechado sob soma e (iii) T é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a T. Substituindo em x+y+\cos z=1 obtemos
0+0+\cos 0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1=1,
logo (0,0,0)\in T. A primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Vamos mostrar que T falha ao ser fechado sob multiplicação escalar. Escolhemos um vetor em T com componente z\neq 0. Por exemplo, para z=\tfrac{\pi}{2} temos \cos(\tfrac{\pi}{2})=0, de modo que qualquer (x,y,\tfrac{\pi}{2})\in T satisfaz x+y=1. Tomemos
v = (1,0,\tfrac{\pi}{2})\in T.
Agora multiplicamos v pelo escalar k=3. Então
3v = (3,0,\tfrac{3\pi}{2})
e
3+0+\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 3 + 0 = 3 \neq 1.
Logo 3v\notin T, o que mostra que T não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

T não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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