Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço de
. Para isso, precisamos checar três propriedades: (i) o vetor zero está em
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Substituindo em
obtemos
logo
. A primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Vamos mostrar que
falha ao ser fechado sob multiplicação escalar. Escolhemos um vetor em
com componente
. Por exemplo, para
temos
, de modo que qualquer
satisfaz
. Tomemos
Agora multiplicamos
pelo escalar
. Então
e
Logo
, o que mostra que
não é fechado sob multiplicação escalar.