Defina base ortogonal e base ortonormal de espaço vetorial.
Considere o conjunto S=\left\{\mathrm{v}_{1}=(1,0,-1,2), \mathrm{v}_{2}=(1,0,1,0), \mathrm{v}_{3}=(1,0,0,1), \mathrm{v}_{4}=(1,1,0,0)\right\} \subset \mathbb{R}^{4} e o subespaco vetorial W= L(S).
b) Determine uma base e a dimensio de W.
c) Determine se \mathbf{v}=(1,0,1,1) \in W.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pede:
• Definir o que é uma base ortogonal e uma base ortonormal num espaço vetorial com produto interno;
• Dado S=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}\subset\mathbb{R}^4 e W=\mathcal{L}(S), encontrar uma base de W e sua dimensão;
• Verificar se v=(1,0,1,1) pertence a W;
• Aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
Conteúdos necessários: teoria de subespaços, independência linear, solução de combinações lineares, projeções e processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Definimos primeiro:
Uma base ortogonal de um espaço vetorial V com produto interno é um conjunto \{u_{1},\dots,u_{n}\} que é base de V e satisfaz
u_{i}\cdot u_{j}=0\quad\text{para }i\neq j.
Uma base ortonormal é uma base ortogonal cujos vetores têm norma unitária, isto é, além de serem mutuamente perpendiculares, satisfazem
\|u_{i}\|=1\quad\text{para todo }i.

Passo 3

Para achar uma base de W=\mathcal{L}(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}), montamos a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} e verificamos sua posto. O cálculo mostra posto 3, com pivôs nas colunas 1,2,4. Logo, \{v_{1},v_{2},v_{4}\} é base de W e
\dim W = 3.

Passo 4

Para ver se v=(1,0,1,1)\) pertence a \(W\), tentamos \[\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{4}v_{4}=v.
Escrevendo coordenada a coordenada obtém-se sistema
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{4}=1,\\\ \alpha_{4}=0,\\\\ -\alpha_{1}+\alpha_{2}=1,\\\\ 2\alpha_{1}=1. \end{cases}
Dessa última vem \alpha_{1}=\tfrac12\], de \(-\alpha_{1}+\alpha_{2}=1 vem \alpha_{2}=\tfrac32, e \alpha_{4}=0. Mas então \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{4}=\tfrac12+\tfrac32+0=2\neq1. Logo não há solução e v\notin W.

Passo 5

Aplicando Gram–Schmidt à base \{v_{1},v_{2},v_{4}\}:
Definimos
u_{1}=v_{1},\qquad u_{2}=v_{2}-\frac{v_{2}\cdot u_{1}}{u_{1}\cdot u_{1}}\,u_{1},\qquad u_{3}=v_{4}-\sum_{i=1}^{2}\frac{v_{4}\cdot u_{i}}{u_{i}\cdot u_{i}}\,u_{i}.
Calcula-se
v_{2}\cdot u_{1}=0\quad\Longrightarrow\quad u_{2}=v_{2}=(1,0,1,0),
v_{4}\cdot u_{1}=1,\;u_{1}\cdot u_{1}=6,\quad v_{4}\cdot u_{2}=1,\;u_{2}\cdot u_{2}=2,
u_{3} =v_{4}-\frac{1}{6}u_{1}-\frac{1}{2}u_{2} =(1,1,0,0)-\tfrac{1}{6}(1,0,-1,2)-\tfrac{1}{2}(1,0,1,0) =(\tfrac{1}{3},1,-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3}).
Multiplicando u_{3} por 3 para ficar inteiro, temos também vetor ortogonal (1,3,-1,-1). Portanto, uma base ortogonal de W é
\{\,u_{1}=(1,0,-1,2),\;u_{2}=(1,0,1,0),\;u_{3}=(1,3,-1,-1)\}.

Resposta

a) Base ortogonal: conjunto que gera o espaço, é linearmente independente e satisfaz u_i\cdot u_j=0 para i\neq j. Base ortonormal: base ortogonal cujos vetores têm norma 1.
b) \{v_{1},v_{2},v_{4}\} é base de W e \dim W=3.
c) \mathbf{v}=(1,0,1,1)\notin W.
d) Uma base ortogonal de W é
\bigl\{(1,0,-1,2),\;(1,0,1,0),\;(1,3,-1,-1)\bigr\}.

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