Verifique em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais do espaço vetorial
das matrizes de ordem
com as operações usuais:
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
de matrizes idempotentes. Para decidir se
é subespaço vetorial, vamos usar a definição:
- contém a matriz zero;
- é fechado sob soma;
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação da matriz zero. Seja
a matriz zero em
. Então
logo
.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação escalar. Tome
e
. Então
Para
ser idempotente precisamos
Se
, isso só ocorre quando
ou
. Logo, em geral
para
arbitrário.
Passo 4
Fechamento sob soma. Se
, então
Para que
seja idempotente, precisaríamos
, o que não vale em geral. Por exemplo, em
escolha
ambas idempotentes, mas
e
, logo
.
Passo 5
Como
falha no fechamento sob soma e também no fechamento sob multiplicação escalar, concluímos que
não é subespaço vetorial de
.