Verifique em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais do espaço vetorial V=\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) das matrizes de ordem n com as operações usuais:
S_{1}=\left\{A \in V \mid A^{2}=A\right\};

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M_{n}(\mathbb{R}) e o subconjunto
S_{1} = \{A \in V \mid A^{2} = A\}
de matrizes idempotentes. Para decidir se S_{1} é subespaço vetorial, vamos usar a definição:
  1. contém a matriz zero;
  2. é fechado sob soma;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação da matriz zero. Seja \mathbf{0} a matriz zero em V. Então
\mathbf{0}^{2} = \mathbf{0},
logo \mathbf{0}\in S_{1}.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação escalar. Tome \lambda\in\mathbb{R} e A\in S_{1}. Então
(\lambda A)^{2} = \lambda^{2}A^{2} = \lambda^{2}A.
Para \lambda A ser idempotente precisamos
\lambda^{2}A = \lambda A \quad\Longleftrightarrow\quad (\lambda^{2}-\lambda)A=0.
Se A\neq\mathbf{0}, isso só ocorre quando \lambda=0 ou \lambda=1. Logo, em geral \lambda A\notin S_{1} para \lambda arbitrário.

Passo 4

Fechamento sob soma. Se A,B\in S_{1}, então
(A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2} = A + B + AB + BA.
Para que A+B seja idempotente, precisaríamos AB+BA=0, o que não vale em geral. Por exemplo, em n=1 escolha
A = [1],\quad B=[1],
ambas idempotentes, mas
A+B = [2],
e [2]^{2} = [4]\neq[2], logo A+B\notin S_{1}.

Passo 5

Como S_{1} falha no fechamento sob soma e também no fechamento sob multiplicação escalar, concluímos que S_{1} não é subespaço vetorial de V.

Resposta

S_{1} não é subespaço vetorial de M_{n}(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados