Mostre que o conjunto W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=0\right\} é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=0\}
e pede para mostrarmos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: é preciso verificar que
  1. W contém o vetor nulo de \mathbb{R}^2.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0) está em W.
Como no vetor (0,0) a segunda componente é 0, concluímos
(0,0)\in W.

Passo 3

Mostramos a clausura sob soma. Seja (x_1,0) e (x_2,0) dois vetores em W.
Então
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1 + x_2,\;0 + 0) = (x_1 + x_2,0).
Como a segunda componente continua sendo 0, segue que (x_1+x_2,0)\in W.

Passo 4

Mostramos a clausura sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e (x,0)\in W.
Então
\alpha\,(x,0) = (\alpha x,\;\alpha\cdot 0) = (\alpha x,0).
Novamente a segunda componente é 0, logo (\alpha x,0)\in W.

Resposta

Como W contém o vetor nulo, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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