Represente graficamente cada um dos seguintes conjuntos. Se o conjunto for convexo, apresente uma prova. Se não for convexo, dê um contra-exemplo.
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o conjunto
no plano
e estudar sua convexidade. Vamos precisar saber como é o gráfico da função exponencial e a definição de conjunto convexo em
.
Passo 2
O gráfico de
é uma curva que:
- Passa por
. - Tem assíntota
quando . - Cresce indefinidamente quando
.
Em termos de desenho, basta traçar a curva suave que passa por, aproxima-se do eixo à esquerda e sobe rapidamente à direita.
Passo 3
Lembrando a definição: um conjunto
é convexo se, para quaisquer dois pontos
e qualquer
, o ponto
também estiver em
. Geometricamente, todo segmento que liga dois pontos de
deve ficar inteiro dentro de
.
Passo 4
Vamos dar um contra-exemplo para mostrar que
não é convexo. Escolha
Ambos estão em
. O ponto médio do segmento
(caso
) é
Para que
pertencesse a
, precisaríamos ter
Mas numericamente
e
, logo
ou seja,
. Como o segmento entre
e
não fica todo em
, concluímos que
não é convexo.
Resposta
O conjunto
é o gráfico da exponencial e não é convexo (contra-exemplo usando os pontos
e
).