Represente graficamente cada um dos seguintes conjuntos. Se o conjunto for convexo, apresente uma prova. Se não for convexo, dê um contra-exemplo.
(x, y) mid y=e^x.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto
C = (x,y)mid y = e^x
no plano R^2 e estudar sua convexidade. Vamos precisar saber como é o gráfico da função exponencial e a definição de conjunto convexo em R^2.

Passo 2

O gráfico de ,y = e^x é uma curva que:
  1. Passa por (0,1).
  2. Tem assíntota y=0 quando xto -infty.
  3. Cresce indefinidamente quando xto +infty.
    Em termos de desenho, basta traçar a curva suave que passa por (0,1), aproxima-se do eixo x à esquerda e sobe rapidamente à direita.

Passo 3

Lembrando a definição: um conjunto DsubsetR^2 é convexo se, para quaisquer dois pontos P,Qin D e qualquer tin[0,1], o ponto
(1-t)P + t,Q
também estiver em D. Geometricamente, todo segmento que liga dois pontos de D deve ficar inteiro dentro de D.

Passo 4

Vamos dar um contra-exemplo para mostrar que C não é convexo. Escolha
P=(0,e^0)=(0,1), Q=(1,e^1)=(1,e)
Ambos estão em C. O ponto médio do segmento PQ (caso t=tfrac12) é
M = l(tfrac0+12,,tfrac1+e2r) = l(tfrac12,;tfrac1+e2r)
Para que M pertencesse a C, precisaríamos ter
1+e2 ;=; e^tfrac12 = raize
Mas numericamente tfrac1+e2approx1,859 e raizeapprox1,649, logo
tfrac1+e2 ;>; raize,
ou seja, Mnotin C. Como o segmento entre P e Q não fica todo em C, concluímos que C não é convexo.

Resposta

O conjunto
(x,y)mid y=e^x
é o gráfico da exponencial e não é convexo (contra-exemplo usando os pontos (0,1) e (1,e)).

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