Seja S subset R um conjunto consistindo de um único ponto, S=s. Prove que S é um conjunto fechado e convexo.

Passo 1

O enunciado nos dá SsubsetR com S=s, um singleton. O objetivo é mostrar que
  1. S é convexo, usando a definição de conjunto convexo: para quaisquer x,yin S e todo lambdain[0,1] deve ocorrer lambda x+(1-lambda)yin S.
  2. S é fechado, usando a definição de conjunto fechado em R: seu complemento Rsetminus S deve ser aberto, isto é, para cada ponto em Rsetminus S existe um intervalo aberto contido em Rsetminus S.

Passo 2

(Convexidade) Tome x,yin S e lambdain[0,1]. Como S=s, temos x=s e y=s. Logo
lambda x + (1-lambda)y = lambda s + (1-lambda)s = (lambda +1-lambda),s = s
Como sin S, concluímos lambda x + (1-lambda)yin S. Portanto S é convexo.

Passo 3

(Fechamento) Vamos mostrar que Rsetminus S é aberto. Seja xinRsetminus S, logo xneq s. Defina
de<a = |x - s| > 0
Para qualquer y em (x-de<a,,x+de<a) vale
|y-s|;>=;|x-s| - |y-x|;>;de<a - de<a = 0,
logo yneq s e ynotin S. Assim (x-de<a,x+de<a)subsetRsetminus S, mostrando que cada ponto do complemento tem uma vizinhança contida nele. Portanto Rsetminus S é aberto e S é fechado.

Resposta

S é convexo e fechado.

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