Seja
um conjunto consistindo de um único ponto,
. Prove que S é um conjunto fechado e convexo.
Passo 1
O enunciado nos dá
com
, um singleton. O objetivo é mostrar que
-
é convexo, usando a definição de conjunto convexo: para quaisquer e todo deve ocorrer . -
é fechado, usando a definição de conjunto fechado em : seu complemento deve ser aberto, isto é, para cada ponto em existe um intervalo aberto contido em .
Passo 2
(Convexidade) Tome
e
. Como
, temos
e
. Logo
Como
, concluímos
. Portanto
é convexo.
Passo 3
(Fechamento) Vamos mostrar que
é aberto. Seja
, logo
. Defina
Para qualquer
em
vale
logo
e
. Assim
, mostrando que cada ponto do complemento tem uma vizinhança contida nele. Portanto
é aberto e
é fechado.