O enunciado pede: “Descreva as operações elementares.”
Informações dadas: nenhuma informação extra (nenhuma matriz ou sistema específico).
O que será entregue: uma descrição clara e didática das operações elementares (o que são, notação, por que são válidas), seus efeitos (sobre solução de sistemas, determinante e posto), como usá‑las passo a passo em eliminação Gaussiana e um exemplo numérico totalmente desenvolvido. Nada mais será pedido nem necessário.
Passo 2
O que são, de forma direta e intuitiva.
Operações elementares são transformações simples que se aplicam às linhas (ou colunas) de uma matriz (ou às equações de um sistema) que preservam o conjunto de soluções do sistema linear associado. São usadas para transformar uma matriz numa forma mais simples (por exemplo, forma escalonada ou forma reduzida) e assim resolver sistemas, calcular posto, inversa, etc. As três operações elementares sobre linhas são:
R_i \leftrightarrow R_j : trocar a linha i com a linha j.
k\,R_i \to R_i com k \neq 0 : multiplicar a linha i por um escalar não nulo k.
R_i + k\,R_j \to R_i : adicionar à linha i um múltiplo k da linha j.
Passo 3
Por que essas operações preservam o conjunto de soluções (intuição e demonstração curta).
Pense no sistema de equações linear; cada linha da matriz ampliada corresponde a uma equação. Trocar a ordem das equações (R_i \leftrightarrow R_j) não altera as soluções: só reordena as equações.
Multiplicar uma equação por k\neq0 (k\,R_i\to R_i) mantém exatamente os mesmos zeros (se ax=b então kax=kb tem as mesmas soluções enquanto k\neq0).
Somar um múltiplo de uma equação a outra (R_i + kR_j \to R_i) é combinar linearmente equações: qualquer solução que satisfaça ambas as equações originais satisfará a nova, e a operação é reversível (subtraindo k vezes a linha j). Logo, o conjunto de soluções permanece igual.
Passo 4
Representação matricial: matrizes elementares e invertibilidade.
Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar a esquerda a matriz por uma matriz chamada matriz elementar. Exemplos (para 3\times3):
Troca de linhas R_1 \leftrightarrow R_2:
E=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E\,A \text{ troca a linha 1 com a 2 de }A.
Multiplicação da linha 2 por k\neq0:
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & k & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E\,A \text{ multiplica a linha 2 de }A \text{ por }k.
Todas as matrizes elementares são invertíveis; a inversa é também uma matriz elementar (por exemplo, inverter kR_i é multiplicar por 1/k; inverter R_i+kR_j é R_i-kR_j; inverter troca de linhas é a própria troca).]
Passo 5
Efeito sobre o determinante e o posto (fatos práticos importantes).
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Ou seja, se B obtém de A trocando R_i e R_j, então \det B = -\det A.
Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k. Se multiplicar por k a linha i, então \det B = k\det A.
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante: \det B = \det A.
Quanto ao posto: operações elementares não mudam o posto da matriz (pois são invertíveis). Assim o número de pivôs / linhas independentes é preservado.
Passo 6
Como usar passo a passo em prova (eliminação Gauss/Gauss–Jordan) — estratégia prática.
Colocar a matriz aumentada do sistema.
Procurar um pivô (um elemento não nulo) na primeira coluna; se o elemento da linha 1 for zero, troque linhas para trazer um não zero para cima (R_i\leftrightarrow R_1).
Tornar o pivô igual a 1 dividindo a linha por esse pivô (kR_1\to R_1 com k=1/\text{pivô}ô). (Na prática de prova, às vezes evita‑se divisão imediata para manter inteiros, mas dividir facilita o cálculo.)
Anular abaixo do pivô: para cada linha i>1 use R_i - (\text{coef})R_1 \to R_i para zerar a coluna abaixo do pivô.
Repetir para submatriz obtida (segunda coluna, etc.). Isso leva à forma escalonada.
Se quiser forma reduzida (RREF), depois de eliminar abaixo, volte subindo e elimine acima dos pivôs com operações R_j - (\text{coef})R_i \to R_j.
Dicas: evitar divisão por zero trocando linhas (pivotação parcial). Anote operações com clareza; em prova, escrever explicitamente cada operação ajuda a justificar etapas.
Passo 7
Exemplo prático completo (resolver sistema) — cada passo com a operação aplicada.
Resolver o sistema (exemplo simples)
\begin{cases} x + 2y - z = 3,\\[4pt] 2x + y + z = 7,\\[4pt] - x + y + 2z = -1. \end{cases}
Logo solução: x=\tfrac{35}{12},\; y=\tfrac{5}{12},\; z=\tfrac{3}{4}.
Este exemplo mostra todas as três operações aplicadas e como chegar à solução.]
Passo 8
Resumo de propriedades úteis para prova e dicas de correção:
Sempre anote a operação: ex.: R_2 \to R_2 - 2R_1. Isso demonstra raciocínio.
Evite dividir por números estranhos até necessário; às vezes manter frações controladas ajuda.
Use troca de linhas quando o pivô for zero (pivotação parcial).
Lembre: operações elementares não mudam o conjunto de soluções nem o posto; mudam o determinante conforme indicado no Passo 5.
Para encontrar inversa de matriz A: formar [A\mid I] e aplicar operações elementares até [I\mid A^{-1}]. Cada operação em linhas é válida e corresponde a multiplicar por matrizes elementares.
Resposta
As operações elementares (sobre linhas) são: R_i \leftrightarrow R_j; k\,R_i \to R_i com k\neq0; R_i + k\,R_j \to R_i.