Descreva as operações elementares.

Passo 1

O enunciado pede: “Descreva as operações elementares.”
Informações dadas: nenhuma informação extra (nenhuma matriz ou sistema específico).
O que será entregue: uma descrição clara e didática das operações elementares (o que são, notação, por que são válidas), seus efeitos (sobre solução de sistemas, determinante e posto), como usá‑las passo a passo em eliminação Gaussiana e um exemplo numérico totalmente desenvolvido. Nada mais será pedido nem necessário.

Passo 2

O que são, de forma direta e intuitiva.
Operações elementares são transformações simples que se aplicam às linhas (ou colunas) de uma matriz (ou às equações de um sistema) que preservam o conjunto de soluções do sistema linear associado. São usadas para transformar uma matriz numa forma mais simples (por exemplo, forma escalonada ou forma reduzida) e assim resolver sistemas, calcular posto, inversa, etc. As três operações elementares sobre linhas são:
  • R_i \leftrightarrow R_j : trocar a linha i com a linha j.
  • k\,R_i \to R_i com k \neq 0 : multiplicar a linha i por um escalar não nulo k.
  • R_i + k\,R_j \to R_i : adicionar à linha i um múltiplo k da linha j.

Passo 3

Por que essas operações preservam o conjunto de soluções (intuição e demonstração curta).
  • Pense no sistema de equações linear; cada linha da matriz ampliada corresponde a uma equação. Trocar a ordem das equações ( R_i \leftrightarrow R_j) não altera as soluções: só reordena as equações.
  • Multiplicar uma equação por k\neq0 ( k\,R_i\to R_i) mantém exatamente os mesmos zeros (se ax=b então kax=kb tem as mesmas soluções enquanto k\neq0).
  • Somar um múltiplo de uma equação a outra ( R_i + kR_j \to R_i) é combinar linearmente equações: qualquer solução que satisfaça ambas as equações originais satisfará a nova, e a operação é reversível (subtraindo k vezes a linha j). Logo, o conjunto de soluções permanece igual.

Passo 4

Representação matricial: matrizes elementares e invertibilidade.
Cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar a esquerda a matriz por uma matriz chamada matriz elementar. Exemplos (para 3\times3):
  • Troca de linhas R_1 \leftrightarrow R_2:
E=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E\,A \text{ troca a linha 1 com a 2 de }A.
  • Multiplicação da linha 2 por k\neq0:
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & k & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E\,A \text{ multiplica a linha 2 de }A \text{ por }k.
  • Adicionar k vezes a linha 1 à linha 3:
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] k & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E\,A \text{ substitui }R_3\text{ por }R_3+kR_1.
Todas as matrizes elementares são invertíveis; a inversa é também uma matriz elementar (por exemplo, inverter kR_i é multiplicar por 1/k; inverter R_i+kR_j é R_i-kR_j; inverter troca de linhas é a própria troca).]

Passo 5

Efeito sobre o determinante e o posto (fatos práticos importantes).
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Ou seja, se B obtém de A trocando R_i e R_j, então \det B = -\det A.
  • Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k. Se multiplicar por k a linha i, então \det B = k\det A.
  • Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante: \det B = \det A.
  • Quanto ao posto: operações elementares não mudam o posto da matriz (pois são invertíveis). Assim o número de pivôs / linhas independentes é preservado.

Passo 6

Como usar passo a passo em prova (eliminação Gauss/Gauss–Jordan) — estratégia prática.
  1. Colocar a matriz aumentada do sistema.
  2. Procurar um pivô (um elemento não nulo) na primeira coluna; se o elemento da linha 1 for zero, troque linhas para trazer um não zero para cima ( R_i\leftrightarrow R_1).
  3. Tornar o pivô igual a 1 dividindo a linha por esse pivô ( kR_1\to R_1 com k=1/\text{pivô}ô). (Na prática de prova, às vezes evita‑se divisão imediata para manter inteiros, mas dividir facilita o cálculo.)
  4. Anular abaixo do pivô: para cada linha i>1 use R_i - (\text{coef})R_1 \to R_i para zerar a coluna abaixo do pivô.
  5. Repetir para submatriz obtida (segunda coluna, etc.). Isso leva à forma escalonada.
  6. Se quiser forma reduzida (RREF), depois de eliminar abaixo, volte subindo e elimine acima dos pivôs com operações R_j - (\text{coef})R_i \to R_j.
    Dicas: evitar divisão por zero trocando linhas (pivotação parcial). Anote operações com clareza; em prova, escrever explicitamente cada operação ajuda a justificar etapas.

Passo 7

Exemplo prático completo (resolver sistema) — cada passo com a operação aplicada.
Resolver o sistema (exemplo simples)
\begin{cases} x + 2y - z = 3,\\[4pt] 2x + y + z = 7,\\[4pt] - x + y + 2z = -1. \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 7\\[4pt] -1 & 1 & 2 & -1 \end{array}\right]
Passo A: zerar abaixo do pivô (pivô na linha 1, coluna 1 é 1).
  • R_2 \to R_2 - 2R_1:
R_2: (2,1,1\mid7) - 2(1,2,-1\mid3) = (0,-3,3\mid1).
  • R_3 \to R_3 + R_1:
R_3: (-1,1,2\mid-1) + (1,2,-1\mid3) = (0,3,1\mid2).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 0 & -3 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right]
Passo B: escolher pivô na segunda coluna (linha 2 tem -3). Pode dividir a linha 2 por -3 para facilitar: R_2 \to -\tfrac{1}{3}R_2:
R_2 = (0,1,-1\mid -\tfrac{1}{3}).
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right]
Passo C: zerar acima e abaixo do pivô da coluna 2.
  • R_1 \to R_1 - 2R_2:
R_1: (1,2,-1\mid3) -2(0,1,-1\mid -\tfrac{1}{3}) = (1,0,1\mid 3+ \tfrac{2}{3}) = (1,0,1\mid \tfrac{11}{3}).
  • R_3 \to R_3 - 3R_2:
R_3: (0,3,1\mid2) -3(0,1,-1\mid -\tfrac{1}{3}) = (0,0,4\mid 2+1)= (0,0,4\mid3).
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & \tfrac{11}{3}\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 3 \end{array}\right]
Passo D: pivô na linha 3, coluna 3 é 4. Dividir por 4: R_3 \to \tfrac{1}{4}R_3 R_3=(0,0,1\mid \tfrac{3}{4}). Agora eliminar acima:
  • R_1 \to R_1 - R_3: (1,0,1\mid \tfrac{11}{3})-(0,0,1\mid \tfrac{3}{4})=(1,0,0\mid \tfrac{11}{3}-\tfrac{3}{4}). Calcular \tfrac{11}{3}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{44-9}{12}=\tfrac{35}{12}.
  • R_2 \to R_2 + R_3: (0,1,-1\mid -\tfrac{1}{3})+(0,0,1\mid \tfrac{3}{4})=(0,1,0\mid -\tfrac{1}{3}+\tfrac{3}{4}). Calcular -\tfrac{1}{3}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{-4+9}{12}=\tfrac{5}{12}.
Matriz em forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{35}{12}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{12}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{4} \end{array}\right]
Logo solução: x=\tfrac{35}{12},\; y=\tfrac{5}{12},\; z=\tfrac{3}{4}.
Este exemplo mostra todas as três operações aplicadas e como chegar à solução.]

Passo 8

Resumo de propriedades úteis para prova e dicas de correção:
  • Sempre anote a operação: ex.: R_2 \to R_2 - 2R_1. Isso demonstra raciocínio.
  • Evite dividir por números estranhos até necessário; às vezes manter frações controladas ajuda.
  • Use troca de linhas quando o pivô for zero (pivotação parcial).
  • Lembre: operações elementares não mudam o conjunto de soluções nem o posto; mudam o determinante conforme indicado no Passo 5.
  • Para encontrar inversa de matriz A: formar [A\mid I] e aplicar operações elementares até [I\mid A^{-1}]. Cada operação em linhas é válida e corresponde a multiplicar por matrizes elementares.

Resposta

As operações elementares (sobre linhas) são: R_i \leftrightarrow R_j; k\,R_i \to R_i com k\neq0; R_i + k\,R_j \to R_i.

Exercícios relacionados