Defina e caracterize uma função de produção. Represente, matematicamente e graficamente, as tecnologias de produção Cobb-Douglas, Leontief e linear. Quais as diferenças entre elas?

Passo 1

Aqui está o que o enunciado pede e as informações que temos:
  • Perguntas: (1) Definir e caracterizar uma função de produção; (2) representar matematicamente e graficamente as tecnologias de produção Cobb–Douglas, Leontief e linear; (3) explicar as diferenças entre elas.
  • Informações dadas: nenhuma fórmula numérica específica — vou usar a notação padrão de dois fatores de produção: trabalho (L) e capital (K). Vou considerar produção agregada Y ou F(L,K).
  • Observação: vou tratar o caso de duas variáveis porque é o padrão para desenhar isoquantas (gráficos L vs K).

Passo 2

Definição intuitiva e notação básica — o que é uma função de produção?
  • Definição: uma função de produção descreve a quantidade máxima de produto que a firma pode obter a partir de combinações dadas de fatores. Matematicamente representamos como Y = F(L,K), onde \,L é trabalho, \,K é capital e \,Y é output.
  • Significado: para cada par (L,K) a função entrega o máximo de output possível com a tecnologia disponível.
  • Exemplo verbal: se F(2,1)=10, significa que usando 2 unidades de trabalho e 1 de capital a firma consegue, no máximo, produzir 10 unidades do bem.

Passo 3

Propriedades e conceitos importantes (com fórmulas e interpretação passo a passo)
  1. Produtos marginais — como medir o efeito de aumentar um fator:
    • Produto marginal do trabalho (MPL): \text{MPL} = \frac{\partial F}{\partial L}.Interpretação: quanto aumenta Y ao aumentar L infinitesimalmente, mantendo K fixo.
    • Produto marginal do capital (MPK): \text{MPK} = \frac{\partial F}{\partial K}.
  2. Taxa marginal de substituição técnica (MRTS) — inclinação da isoquanta:
    • Definição: \text{MRTS}_{L,K} = \frac{\text{MPL}}{\text{MPK}}.Interpretação: quantidade de K que pode ser reduzida ao aumentar L em 1 unidade, mantendo Y constante. Isoquanta são curvas de nível: F(L,K)=\bar{Y}.
  3. Retornos à escala — comportamento ao multiplicar todos os fatores por \lambda>0:
    • Se F(\lambda L,\lambda K)=\lambda^r F(L,K), dizemos que a função é homogênea de grau r.
    • r=1 → retornos constantes à escala; r>1 → crescentes; r<1 → decrescentes.
  4. Substituibilidade e elasticidade de substituição \sigma:
    • Fórmula (definição técnica): \sigma \;=\; \frac{d\ln (K/L)}{d\ln(\text{MRTS}_{L,K})}\quad\text{ao longo de uma isoquanta}.
    • Interpretação: mede a facilidade de trocar L por K mantendo Y fixo. Valores típicos: \sigma=1 (Cobb–Douglas), \sigma=0 (Leontief), \sigma=\infty (lin. perfeitos substitutos).
  5. Convexidade das isoquantas: indica preferência por combinações balanceadas; isoquantas estritamente convexas significam substituição decrescente.

Passo 4

Cobb–Douglas — formulação, propriedades, derivadas e gráfico
  1. Forma matemática (caso dois fatores): F(L,K)=A\,L^{\alpha}K^{\beta}, com (A>0,;\alpha\ge0,;\beta\ge0.]
    • A é um fator de produtividade total; \alpha e \beta são parâmetros que medem a elasticidade parcial da produção em relação a L e K.
  2. Produtos marginais (derivar passo a passo):
    • \text{MPL}=\dfrac{\partial F}{\partial L}=A\alpha L^{\alpha-1}K^{\beta}.
    • \text{MPK}=\dfrac{\partial F}{\partial K}=A\beta L^{\alpha}K^{\beta-1}.
      Explicação: usamos regra de potência: se L^{\alpha} então derivada é \alpha L^{\alpha-1}, multiplicando pelo restante.
  3. MRTS (calculemos \text{MPL}/\text{MPK} passo a passo): \text{MRTS}_{L,K}=\frac{\text{MPL}}{\text{MPK}} =\frac{A\alpha L^{\alpha-1}K^{\beta}}{A\beta L^{\alpha}K^{\beta-1}} =\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{K}{L}.Interpretação: MRTS decresce com L/K (substituição decrescente); se aumentamos L muito, cada unidade adicional de L substitui menos K.
  4. Elasticidade de substituição \sigma: tome logaritmos da expressão de MRTS: \ln(\text{MRTS})=\ln(\alpha/\beta)+\ln(K/L). Diferenciando obtemos \sigma=1. Ou seja, Cobb–Douglas tem \sigma=1.
  5. Retornos à escala: homogeneidade de grau \alpha+\beta.
    • Se \alpha+\beta=1 → retornos constantes; se >1 → crescentes; se <1 → decrescentes.
  6. Isoquanta (representação gráfica): fixando \bar{Y}, temos L^{\alpha}K^{\beta}=\frac{\bar{Y}}{A}\quad\Rightarrow\quad K = \left(\frac{\bar{Y}}{A}\right)^{1/\beta} L^{-\alpha/\beta}.
    • Forma: curva suave, estritamente convexa, monotonamente decrescente (quando L aumenta, K precisa cair para manter \bar{Y}).
    • Exemplo numérico rápido: com A=1,\alpha=0{,}3,\beta=0{,}7,\bar{Y}=1, isoquanta são hipérbolas suavizadas.)

Passo 5

Leontief (perfeitas complementares) — formulação, propriedades, derivadas e gráfico
  1. Forma matemática (fixo-proporções): F(L,K)=\min\{aL,\;bK\}, com (a>0,;b>0.]
    • Interpretação: produção limitada pelo fator “mais escasso” em termos de proporção técnica; precisa-se de proporções fixas aL=bK para não desperdiçar fator.
  2. Comportamento dos produtos marginais (análise por casos):
    • Se aL<bK (trabalho é o fator limitante), então F=aL. Nesse caso \text{MPL}=a e \text{MPK}=0.
    • Se aL>bK (capital limitante), então F=bK. Nesse caso \text{MPL}=0 e \text{MPK}=b.
    • No ponto de canto aL=bK a função não é diferenciável (canto da “L”).
      Explicação: a função é a menor entre duas retas; fora do ponto de equilíbrio uma variação de um fator não muda o mínimo.
  3. MRTS e substituibilidade: MRTS é indefinida no canto e, em termos práticos, não há substituição contínua entre fatores — são complementos perfeitos. Elasticidade de substituição \sigma=0.
  4. Retornos à escala: homogênea de grau 1, portanto retornos constantes à escala.
  5. Isoquanta (gráfico): para \bar{Y} a isoquanta é um L com canto em (L=\bar{Y}/a,\;K=\bar{Y}/b). Precisamente: conjunto \{(L,K): aL\ge\bar{Y},\;bK\ge\bar{Y}\} na fronteira superior do canto. Visualmente: segmentos vertical e horizontal que se encontram no canto (sem curvas suaves).)

Passo 6

Função linear (perfeitos substitutos) — formulação, propriedades, derivadas e gráfico
  1. Forma matemática (lin. em fatores): F(L,K)=aL + bK, com (a>0,;b>0.]
    • Interpretação: cada unidade de L adiciona a unidades de output independentemente de K; fatores são perfeitamente substituíveis.
  2. Produtos marginais: \text{MPL}=\dfrac{\partial F}{\partial L}=a (constante) e \text{MPK}=b (constante).
  3. MRTS: \text{MRTS}_{L,K}=\frac{\text{MPL}}{\text{MPK}}=\frac{a}{b}\quad(\text{constante}).
    • Interpretação: a taxa à qual K pode substituir L é constante — isoquantas são retas. Elasticidade de substituição \sigma=\infty.
  4. Retornos à escala: homogênea de grau 1 → retornos constantes.
  5. Isoquanta (gráfico): para \bar{Y}, isoquanta são retas: aL+bK=\bar{Y}\quad\Rightarrow\quad K=\frac{\bar{Y}-aL}{b}.
    • Forma: linhas retas com inclinação -a/b. Quanto maior \bar{Y}, deslocamento para fora (paralelo).)

Passo 7

Comparação direta — diferenças essenciais (ponto a ponto e intuitivo)
  • Substituibilidade entre fatores:
    • Cobb–Douglas: substituição possível, decresce com deslocamento; isoquanta suave e convexa; \sigma=1.
    • Leontief: sem substituição contínua — fatores são complementos perfeitos; isoquanta em L; \sigma=0.
    • Linear: substituição total e constante; isoquanta em linhas retas; \sigma=\infty.
  • Forma das isoquantas:
    • Cobb–Douglas: curvas lisas e estritamente convexas.
    • Leontief: cantos em L (ângulo reto).
    • Linear: retas (não estritamente convexas).
  • Diferenciabilidade e produtos marginais:
    • Cobb–Douglas: diferenciável, ambos MPL e MPK positivos (se \alpha,\beta>0).
    • Leontief: não diferenciável no canto; produtos marginais são zero para o fator não limitante.
    • Linear: diferenciável (derivadas constantes).
  • MRTS:
    • Cobb–Douglas: variável, \text{MRTS}=\dfrac{\alpha}{\beta}\dfrac{K}{L} (decrescente).
    • Leontief: não definido no canto; fora do canto não há substituição efetiva.
    • Linear: constante \dfrac{a}{b}.
  • Retornos à escala típicos:
    • Cobb–Douglas: depende de \alpha+\beta.
    • Leontief e Linear: geralmente homogeneidade de grau 1 → retornos constantes (se formuladas como acima).

Passo 8

Como reconhecer cada tecnologia rapidamente num exame (dicas práticas)
  • Se as isoquantas são curvas suaves e “hiperbólicas” → pense Cobb–Douglas ou CES; verifique se MRTS depende da razão K/L.
  • Se as isoquantas são em L (ângulo reto) → Leontief (complementos perfeitos).
  • Se as isoquantas são retas → função linear (perfeitos substitutos).
  • Calcule \text{MPL} e \text{MPK}: se são constantes → linear; se um deles for zero em uma região → Leontief; se variam com L e K multiplicativamente → Cobb–Douglas.
  • Para returns to scale: teste homogeneidade multiplicando fatores por \lambda.

Passo 9

Exemplos numéricos rápidos e as respectivas isoquantas (para fixar)
  • Cobb–Douglas: F(L,K)=L^{0{,}4}K^{0{,}6}. Isoquanta para \bar{Y}=1: K = L^{-0{,}4/0{,}6} = L^{-2/3}. Curva suave decrescente.
  • Leontief: F(L,K)=\min\{2L,\;K\}. Isoquanta para \bar{Y}=4: canto em (L=2,\;K=4); isoquanta formam um L com vértice nesse ponto.
  • Linear: F(L,K)=3L+2K. Isoquanta para \bar{Y}=6: 3L+2K=6 \Rightarrow K=3-1{,}5L. Linha reta de inclinação -1{,}5.

Passo 10

Resumo motivacional rápido (empatia de colega de estudo)
  • Se está na dúvida na prova: olhe primeiro para a forma das isoquantas e os produtos marginais. Isso te dá quase sempre a resposta certa com pouco cálculo. Você está indo bem — com esses pontos fixos dá para responder a maioria das perguntas sobre tecnologias de produção.

Resposta

Definição: \;Y=F(L,K) é a função que dá a produção máxima obtida de combinações de trabalho (L) e capital (K); \;\text{MPL}=\partial F/\partial L, \text{MPK}=\partial F/\partial K, \text{MRTS}=\text{MPL}/\text{MPK}.
Cobb–Douglas: \;F(L,K)=A L^{\alpha}K^{\beta}. Produtos marginais \text{MPL}=A\alpha L^{\alpha-1}K^{\beta}, \text{MPK}=A\beta L^{\alpha}K^{\beta-1}. \text{MRTS}=(\alpha/\beta)(K/L). Isoquanta suaves, estritamente convexas; elasticidade de substituição \sigma=1; retornos à escala dados por \alpha+\beta.
Leontief: \;F(L,K)=\min\{aL,\;bK\}. Produção por proporções fixas; produtos marginais piecewise (por exemplo, se aL<bK então F=aL\Rightarrow\text{MPL}=a,\text{MPK}=0); isoquanta em L (ângulo reto); sem substituição contínua ( \sigma=0); não diferenciável no canto; retornos à escala constantes (grau 1).
Linear (perfeitos substitutos): \;F(L,K)=aL+bK. \text{MPL}=a,\;\text{MPK}=b (constantes); isoquanta são retas aL+bK=\bar{Y} com inclinação -a/b; substituição perfeita ( \sigma=\infty); retornos à escala constantes.

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