Defina e caracterize uma função de produção. Represente, matematicamente e graficamente, as tecnologias de produção Cobb-Douglas, Leontief e linear. Quais as diferenças entre elas?
Passo 1
Aqui está o que o enunciado pede e as informações que temos:
- Perguntas: (1) Definir e caracterizar uma função de produção; (2) representar matematicamente e graficamente as tecnologias de produção Cobb–Douglas, Leontief e linear; (3) explicar as diferenças entre elas.
- Informações dadas: nenhuma fórmula numérica específica — vou usar a notação padrão de dois fatores de produção: trabalho
e capital . Vou considerar produção agregada ou . - Observação: vou tratar o caso de duas variáveis porque é o padrão para desenhar isoquantas (gráficos
vs ).
Passo 2
Definição intuitiva e notação básica — o que é uma função de produção?
- Definição: uma função de produção descreve a quantidade máxima de produto que a firma pode obter a partir de combinações dadas de fatores. Matematicamente representamos como
onde é trabalho, é capital e é output. - Significado: para cada par
a função entrega o máximo de output possível com a tecnologia disponível. - Exemplo verbal: se
, significa que usando 2 unidades de trabalho e 1 de capital a firma consegue, no máximo, produzir 10 unidades do bem.
Passo 3
Propriedades e conceitos importantes (com fórmulas e interpretação passo a passo)
- Produtos marginais — como medir o efeito de aumentar um fator:
- Produto marginal do trabalho (MPL):
Interpretação: quanto aumenta ao aumentar infinitesimalmente, mantendo fixo. - Produto marginal do capital (MPK):
- Produto marginal do trabalho (MPL):
- Taxa marginal de substituição técnica (MRTS) — inclinação da isoquanta:
- Definição:
Interpretação: quantidade de que pode ser reduzida ao aumentar em 1 unidade, mantendo constante. Isoquanta são curvas de nível: .
- Definição:
- Retornos à escala — comportamento ao multiplicar todos os fatores por
: - Se
, dizemos que a função é homogênea de grau . -
→ retornos constantes à escala; → crescentes; → decrescentes.
- Se
- Substituibilidade e elasticidade de substituição
: - Fórmula (definição técnica):
- Interpretação: mede a facilidade de trocar
por mantendo fixo. Valores típicos: (Cobb–Douglas), (Leontief), (lin. perfeitos substitutos).
- Fórmula (definição técnica):
- Convexidade das isoquantas: indica preferência por combinações balanceadas; isoquantas estritamente convexas significam substituição decrescente.
Passo 4
Cobb–Douglas — formulação, propriedades, derivadas e gráfico
- Forma matemática (caso dois fatores):
com (A>0,;\alpha\ge0,;\beta\ge0.] -
é um fator de produtividade total; e são parâmetros que medem a elasticidade parcial da produção em relação a e .
-
- Produtos marginais (derivar passo a passo):
-
-
Explicação: usamos regra de potência: seentão derivada é , multiplicando pelo restante.
-
- MRTS (calculemos
passo a passo): Interpretação: MRTS decresce com (substituição decrescente); se aumentamos muito, cada unidade adicional de substitui menos . - Elasticidade de substituição
: tome logaritmos da expressão de MRTS: . Diferenciando obtemos . Ou seja, Cobb–Douglas tem . - Retornos à escala: homogeneidade de grau
. - Se
→ retornos constantes; se → crescentes; se → decrescentes.
- Se
- Isoquanta (representação gráfica): fixando
, temos - Forma: curva suave, estritamente convexa, monotonamente decrescente (quando
aumenta, precisa cair para manter ). - Exemplo numérico rápido: com
, isoquanta são hipérbolas suavizadas.)
- Forma: curva suave, estritamente convexa, monotonamente decrescente (quando
Passo 5
Leontief (perfeitas complementares) — formulação, propriedades, derivadas e gráfico
- Forma matemática (fixo-proporções):
com (a>0,;b>0.] - Interpretação: produção limitada pelo fator “mais escasso” em termos de proporção técnica; precisa-se de proporções fixas
para não desperdiçar fator.
- Interpretação: produção limitada pelo fator “mais escasso” em termos de proporção técnica; precisa-se de proporções fixas
- Comportamento dos produtos marginais (análise por casos):
- Se
(trabalho é o fator limitante), então . Nesse caso e . - Se
(capital limitante), então . Nesse caso e . - No ponto de canto
a função não é diferenciável (canto da “L”).
Explicação: a função é a menor entre duas retas; fora do ponto de equilíbrio uma variação de um fator não muda o mínimo.
- Se
- MRTS e substituibilidade: MRTS é indefinida no canto e, em termos práticos, não há substituição contínua entre fatores — são complementos perfeitos. Elasticidade de substituição
. - Retornos à escala: homogênea de grau 1, portanto retornos constantes à escala.
- Isoquanta (gráfico): para
a isoquanta é um L com canto em . Precisamente: conjunto na fronteira superior do canto. Visualmente: segmentos vertical e horizontal que se encontram no canto (sem curvas suaves).)
Passo 6
Função linear (perfeitos substitutos) — formulação, propriedades, derivadas e gráfico
- Forma matemática (lin. em fatores):
com (a>0,;b>0.] - Interpretação: cada unidade de
adiciona unidades de output independentemente de ; fatores são perfeitamente substituíveis.
- Interpretação: cada unidade de
- Produtos marginais:
(constante) e (constante). - MRTS:
- Interpretação: a taxa à qual
pode substituir é constante — isoquantas são retas. Elasticidade de substituição .
- Interpretação: a taxa à qual
- Retornos à escala: homogênea de grau 1 → retornos constantes.
- Isoquanta (gráfico): para
, isoquanta são retas: - Forma: linhas retas com inclinação
. Quanto maior , deslocamento para fora (paralelo).)
- Forma: linhas retas com inclinação
Passo 7
Comparação direta — diferenças essenciais (ponto a ponto e intuitivo)
- Substituibilidade entre fatores:
- Cobb–Douglas: substituição possível, decresce com deslocamento; isoquanta suave e convexa;
. - Leontief: sem substituição contínua — fatores são complementos perfeitos; isoquanta em L;
. - Linear: substituição total e constante; isoquanta em linhas retas;
.
- Cobb–Douglas: substituição possível, decresce com deslocamento; isoquanta suave e convexa;
- Forma das isoquantas:
- Cobb–Douglas: curvas lisas e estritamente convexas.
- Leontief: cantos em L (ângulo reto).
- Linear: retas (não estritamente convexas).
- Diferenciabilidade e produtos marginais:
- Cobb–Douglas: diferenciável, ambos MPL e MPK positivos (se
). - Leontief: não diferenciável no canto; produtos marginais são zero para o fator não limitante.
- Linear: diferenciável (derivadas constantes).
- Cobb–Douglas: diferenciável, ambos MPL e MPK positivos (se
- MRTS:
- Cobb–Douglas: variável,
(decrescente). - Leontief: não definido no canto; fora do canto não há substituição efetiva.
- Linear: constante
.
- Cobb–Douglas: variável,
- Retornos à escala típicos:
- Cobb–Douglas: depende de
. - Leontief e Linear: geralmente homogeneidade de grau 1 → retornos constantes (se formuladas como acima).
- Cobb–Douglas: depende de
Passo 8
Como reconhecer cada tecnologia rapidamente num exame (dicas práticas)
- Se as isoquantas são curvas suaves e “hiperbólicas” → pense Cobb–Douglas ou CES; verifique se MRTS depende da razão
. - Se as isoquantas são em L (ângulo reto) → Leontief (complementos perfeitos).
- Se as isoquantas são retas → função linear (perfeitos substitutos).
- Calcule
e : se são constantes → linear; se um deles for zero em uma região → Leontief; se variam com e multiplicativamente → Cobb–Douglas. - Para returns to scale: teste homogeneidade multiplicando fatores por
.
Passo 9
Exemplos numéricos rápidos e as respectivas isoquantas (para fixar)
- Cobb–Douglas:
Isoquanta para : . Curva suave decrescente. - Leontief:
Isoquanta para : canto em ; isoquanta formam um L com vértice nesse ponto. - Linear:
Isoquanta para : . Linha reta de inclinação .
Passo 10
Resumo motivacional rápido (empatia de colega de estudo)
- Se está na dúvida na prova: olhe primeiro para a forma das isoquantas e os produtos marginais. Isso te dá quase sempre a resposta certa com pouco cálculo. Você está indo bem — com esses pontos fixos dá para responder a maioria das perguntas sobre tecnologias de produção.
Resposta
Definição:
é a função que dá a produção máxima obtida de combinações de trabalho
e capital
;
,
,
.
Cobb–Douglas: . Produtos marginais
,
.
. Isoquanta suaves, estritamente convexas; elasticidade de substituição
; retornos à escala dados por
.
Leontief: . Produção por proporções fixas; produtos marginais piecewise (por exemplo, se
então
); isoquanta em L (ângulo reto); sem substituição contínua (
); não diferenciável no canto; retornos à escala constantes (grau 1).
Linear (perfeitos substitutos): .
(constantes); isoquanta são retas
com inclinação
; substituição perfeita (
); retornos à escala constantes.
Cobb–Douglas:
Leontief:
Linear (perfeitos substitutos):