Seja f: R R definida por
f(x)=l 0, se x in Q 1, se x in R-Q
Mostre que não existe lim x a f(x) para qualquer que seja a in R.

Passo 1

O enunciado define a função f(x) que vale 0 se x é racional e 1 se x é irracional, e pede para mostrar que não existe limite de f(x) quando x tende a qualquer ponto a. O conteúdo aqui é definição de limite de função e densidade dos conjuntos dos números racionais e irracionais.

Passo 2

Para começar, relembramos a definição sequencial de limite: dizemos que limxto af(x)=L se, para toda sequência (xn) diferente de a que converge para a, temos f(xn)to L.

Passo 3

Como os números racionais são densos em R, podemos escolher uma sequência (rn) de números racionais com rnto a. Para essa sequência, f(rn)=0 para todo n, logo f(rn)to 0. Isso força qualquer candidato a limite L a satisfazer L=0.

Passo 4

De modo análogo, os irracionais também são densos em R. Logo existe uma sequência (sn) de irracionais com snto a. Para esses termos, f(sn)=1 para todo n, e portanto f(sn)to 1. Isso força L=1 caso o limite exista.

Passo 5

Como não se pode ter simultaneamente L=0 e L=1, chegamos a uma contradição. Portanto não existe nenhum L tal que limxto af(x)=L.

Resposta

Não existe limxto af(x) para nenhum ainR.

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