Seja
definida por
Mostre que não existe
para qualquer que seja
.
Passo 1
O enunciado define a função f(x) que vale 0 se x é racional e 1 se x é irracional, e pede para mostrar que não existe limite de f(x) quando x tende a qualquer ponto a. O conteúdo aqui é definição de limite de função e densidade dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
Passo 2
Para começar, relembramos a definição sequencial de limite: dizemos que
se, para toda sequência
diferente de
que converge para
, temos
.
Passo 3
Como os números racionais são densos em
, podemos escolher uma sequência
de números racionais com
. Para essa sequência,
para todo
, logo
. Isso força qualquer candidato a limite
a satisfazer
.
Passo 4
De modo análogo, os irracionais também são densos em
. Logo existe uma sequência
de irracionais com
. Para esses termos,
para todo
, e portanto
. Isso força
caso o limite exista.
Passo 5
Como não se pode ter simultaneamente
e
, chegamos a uma contradição. Portanto não existe nenhum
tal que
.
Resposta
Não existe
para nenhum
.