Seja f(x) uma função real e infinitamente diferenciável em um intervalo real de raio r>0, centrado no ponto x_{0}. Escreva a fórmula para expansão de Taylor de f(x) em torno de x_{0}.

Passo 1

O enunciado afirma que f(x) é real e infinitamente diferenciável num intervalo \{x:|x-x_0|<r\}. Queremos escrever a expansão em série de Taylor de f centrada em x_0.

Passo 2

Suponha que exista uma série
f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,(x-x_0)^n.
Derivando n vezes e avaliando em x=x_0, tem‐se
f^{(n)}(x_0)=n!\,a_n.
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a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.
Substituindo de volta na série, obtemos a forma desejada.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\,(x-x_0)^n, \quad |x-x_0|<r.

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