1. Explique por que a funcão f(x)=\sqrt{x} não pode ser expandida em série de Maclaurin. Essa função pode ser expandida em série de Taylor centrada no ponto x=1 ?

Passo 1

O enunciado considera a função \,f(x)=\sqrt{x}\, e pede dois pontos:
  1. Por que não existe série de Maclaurin (i.e.\ série de Taylor centrada em x=0) para \sqrt{x}.
  2. Se é possível obter uma série de Taylor centrada em x=1.
    Para responder, vamos lembrar que uma série de Taylor centrada em a só existe quando f é infinitamente diferenciável em a e seus coeficientes são dados por
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n.

Passo 2

Em a=0 (caso de Maclaurin) precisamos que f tenha todas as derivadas em 0. Mas
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},
que não está definido em x=0. Logo f nem sequer é diferenciável em 0, quanto mais «infinitamente diferenciável». Portanto não há como formar a série de Maclaurin de \sqrt{x}.

Passo 3

Em a=1, a função \sqrt{x} é suave (C ^\infty) num entorno de 1. Podemos usar a expansão binomial generalizada sobre
\sqrt{x}=\sqrt{1+(x-1)}=(1+(x-1))^{1/2}.
Isso gera a série de Taylor em torno de x=1:
\sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\,(x-1)^{n},
onde
\binom{1/2}{n}=\frac{\tfrac12\bigl(\tfrac12-1\bigr)\bigl(\tfrac12-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12-n+1\bigr)}{n!},
e a série converge sempre que \lvert x-1\rvert<1, pois o ponto singular mais próximo é x=0.

Resposta

Não existe série de Maclaurin para \sqrt{x} porque f'(0) é indefinido.
Entretanto, existe série de Taylor centrada em x=1, dada por
\sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}\,(x-1)^{n},\quad\lvert x-1\rvert<1.

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