- Explique por que a funcão
não pode ser expandida em série de Maclaurin. Essa função pode ser expandida em série de Taylor centrada no ponto
?
Passo 1
O enunciado considera a função
e pede dois pontos:
- Por que não existe série de Maclaurin (i.e.\ série de Taylor centrada em
) para . - Se é possível obter uma série de Taylor centrada em
.
Para responder, vamos lembrar que uma série de Taylor centrada emsó existe quando é infinitamente diferenciável em e seus coeficientes são dados por
Passo 2
Em
(caso de Maclaurin) precisamos que
tenha todas as derivadas em
. Mas
que não está definido em
. Logo
nem sequer é diferenciável em
, quanto mais «infinitamente diferenciável». Portanto não há como formar a série de Maclaurin de
.
Passo 3
Em
, a função
é suave (C
) num entorno de
. Podemos usar a expansão binomial generalizada sobre
Isso gera a série de Taylor em torno de
:
onde
e a série converge sempre que
, pois o ponto singular mais próximo é
.
Resposta
Não existe série de Maclaurin para
porque
é indefinido.
Entretanto, existe série de Taylor centrada em , dada por
Entretanto, existe série de Taylor centrada em