Defina os conceitos de linha de emisão e linha de trajetória. Determine a equaçào para as linhas de corrente do escoamento dado pelo campo de velocidade
.
Passo 1
O enunciado pede (i) definir o que são linha de trajetória e linha de emissão em escoamentos não-estacionários e (ii) determinar a equação das linhas de corrente para o campo de velocidade
Passo 2
Linha de trajetória (pathline) é a curva descrita por uma partícula fluida à medida que ela se move ao longo do tempo. Se
é a posição de uma partícula, então essa curva satisfaz as equações diferenciais do movimento
com as condições iniciais que determinam qual partícula seguimos.
Passo 3
Linha de emissão (streakline) é o invólucro formado pelas partículas que passaram por um mesmo ponto fixo no escoamento em instantes diferentes. Se liberamos continuamente partículas no ponto fixo
, então a streakline num instante
é o conjunto das posições dessas partículas ao longo do tempo.
Passo 4
Para achar as linhas de corrente (streamlines) num instante fixo
introduzimos uma curva
tal que sua tangente em cada ponto coincide com
. Logo
Passo 5
A equação diferencial é separável:
Integrando ambos os lados,
logo
onde
é a constante que identifica cada linha de corrente.
Resposta
Linha de trajetória: curva seguida por uma partícula ao longo do tempo, solução de
.
Linha de emissão: envoltório das partículas que passaram num ponto fixo em instantes diferentes.
Equação das linhas de corrente (instantâneas):
Linha de emissão: envoltório das partículas que passaram num ponto fixo em instantes diferentes.
Equação das linhas de corrente (instantâneas):