Defina os conceitos de linha de emisão e linha de trajetória. Determine a equaçào para as linhas de corrente do escoamento dado pelo campo de velocidade \vec{V}=x \hat{\imath}-y(1+t) \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado pede (i) definir o que são linha de trajetória e linha de emissão em escoamentos não-estacionários e (ii) determinar a equação das linhas de corrente para o campo de velocidade
\vec{V}(x,y,t)=x\,\hat\imath - y\bigl(1+t\bigr)\,\hat\jmath.

Passo 2

Linha de trajetória (pathline) é a curva descrita por uma partícula fluida à medida que ela se move ao longo do tempo. Se \bigl(x(t),y(t)\bigr) é a posição de uma partícula, então essa curva satisfaz as equações diferenciais do movimento
\frac{dx}{dt}=V_x(x,y,t),\quad \frac{dy}{dt}=V_y(x,y,t),
com as condições iniciais que determinam qual partícula seguimos.

Passo 3

Linha de emissão (streakline) é o invólucro formado pelas partículas que passaram por um mesmo ponto fixo no escoamento em instantes diferentes. Se liberamos continuamente partículas no ponto fixo (x_0,y_0), então a streakline num instante t é o conjunto das posições dessas partículas ao longo do tempo.

Passo 4

Para achar as linhas de corrente (streamlines) num instante fixo t introduzimos uma curva y(x) tal que sua tangente em cada ponto coincide com \vec{V}. Logo
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{V_y}{V_x} \;=\;\frac{-\,y\,(1+t)}{x}.

Passo 5

A equação diferencial é separável:
\frac{dy}{y} \;=\;-(1+t)\,\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados,
\ln y \;=\;-\,\bigl(1+t\bigr)\ln x + C \;\;\Longrightarrow\;\; \ln\bigl(y\,x^{1+t}\bigr)=C,
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y\,x^{1+t}=K,
onde K=e^C é a constante que identifica cada linha de corrente.

Resposta

Linha de trajetória: curva seguida por uma partícula ao longo do tempo, solução de \dot x=V_x,\;\dot y=V_y.
Linha de emissão: envoltório das partículas que passaram num ponto fixo em instantes diferentes.
Equação das linhas de corrente (instantâneas):
y\,x^{1+t}=K.

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