Determine a equação da linha de corrente do escoamento representado pelo campo de velocidade \vec{V}=3 \hat{\imath}+9 x^{2} \hat{\jmath} e que passa pelo ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y})=(1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento steady em 2D com campo de velocidade
\vec{V}(x,y) = 3\,\hat{\imath} \;+\; 9\,x^{2}\,\hat{\jmath}
e pede a equação da linha de corrente que passa por (x,y)=(1,1).
Conteúdo: em escoamento steady, as linhas de corrente satisfazem a ODE
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{v_{y}}{v_{x}}.

Passo 2

Escrevendo a ODE com v_{x}=3 e v_{y}=9x^{2}, temos
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{9\,x^{2}}{3} \;=\;3\,x^{2}.

Passo 3

Integramos em relação a x:
y(x) \;=\;\int 3\,x^{2}\,dx \;=\; x^{3} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Impondo a condição de que a linha de corrente passe por (1,1), ou seja, y(1)=1, obtemos
1 = 1^{3} + C \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Logo a linha de corrente é
y = x^{3}.

Resposta

A equação da linha de corrente é
\boxed{y = x^{3}}.

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