a) Defina um conjunto Linearmente Independente de vetores.
b) É possível afirmar que n+1 vetores, de um espaço de dimensão finita n, são linearmente independentes ?

Passo 1

O enunciado pede (a) definir o que é um conjunto linearmente independente de vetores e (b) verificar se em um espaço vetorial de dimensão finita n um conjunto de n+1 vetores pode ser linearmente independente. O conteúdo envolve definição de independência linear e o Teorema da Dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Um conjunto de vetores S = \{v_1, v_2, \dots, v_k\} em um espaço vetorial V é dito linearmente independente se, sempre que uma combinação linear desses vetores for o vetor nulo, todos os coeficientes dessa combinação forem zero. Ou seja,
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_k v_k = 0
implica necessariamente
\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0.
Caso exista alguma combinação não trivial (algum \alpha_i\neq 0) que dê o vetor nulo, dizemos que S é linearmente dependente.

Passo 3

O Teorema da Dimensão afirma que, num espaço vetorial de dimensão n, toda base consiste exatamente em n vetores e, portanto, qualquer conjunto de vetores linearmente independente tem no máximo n elementos. Consequentemente, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente.

Passo 4

Aplicando esse teorema ao conjunto de n+1 vetores num espaço de dimensão n, temos n+1>n. Logo, esse conjunto não pode ser linearmente independente; pelo contrário, deve ser linearmente dependente.

Resposta

a) Um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução da combinação
\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0
for \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
b) Não. Em um espaço de dimensão n, todo conjunto com n+1 vetores é necessariamente linearmente dependente.

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