a) Defina um conjunto Linearmente Independente de vetores.
b) É possível afirmar que
vetores, de um espaço de dimensão finita
, são linearmente independentes ?
b) É possível afirmar que
Passo 1
O enunciado pede (a) definir o que é um conjunto linearmente independente de vetores e (b) verificar se em um espaço vetorial de dimensão finita
um conjunto de
vetores pode ser linearmente independente. O conteúdo envolve definição de independência linear e o Teorema da Dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Um conjunto de vetores
em um espaço vetorial
é dito linearmente independente se, sempre que uma combinação linear desses vetores for o vetor nulo, todos os coeficientes dessa combinação forem zero. Ou seja,
implica necessariamente
Caso exista alguma combinação não trivial (algum
) que dê o vetor nulo, dizemos que
é linearmente dependente.
Passo 3
O Teorema da Dimensão afirma que, num espaço vetorial de dimensão
, toda base consiste exatamente em
vetores e, portanto, qualquer conjunto de vetores linearmente independente tem no máximo
elementos. Consequentemente, qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente.
Passo 4
Aplicando esse teorema ao conjunto de
vetores num espaço de dimensão
, temos
. Logo, esse conjunto não pode ser linearmente independente; pelo contrário, deve ser linearmente dependente.
Resposta
a) Um conjunto
é linearmente independente se a única solução da combinação
for
.
b) Não. Em um espaço de dimensão , todo conjunto com
vetores é necessariamente linearmente dependente.
b) Não. Em um espaço de dimensão