a) Quais propriedades são suficientes para verificar que
é um subespaço vetorial de um espaço vetorial
?
b) Usando o item a, verifique se
é subespaço vetorial de
.
b) Usando o item a, verifique se
Passo 1
O enunciado pede em (a) que a gente liste as condições suficientes para garantir que um subconjunto
de um espaço vetorial
seja, de fato, um subespaço vetorial. Em (b) a gente deve aplicar essas condições ao conjunto
para ver se ele é subespaço de
.
Passo 2
Para verificar que
é subespaço de
, basta checar três propriedades fundamentais:
1. O vetor zero de
está em
.
Isto é, .
Isto é,
2. Fechamento sob adição.
Sejam e
vetores em
. Então
também deve pertencer a
.
Sejam
3. Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
um escalar (do mesmo corpo de
). Então
deve pertencer a
.
Seja
Essas três condições garantem que
herda a estrutura de espaço vetorial de
.
Passo 3
Vamos checar
:
- Verificar se
está em .
Substituindo em, com e , temos o que é falso. Logo, .
Como a condição de conter o vetor zero já falha, não é preciso checar as demais:
não pode ser subespaço vetorial de
.