a) Quais propriedades são suficientes para verificar que W é um subespaço vetorial de um espaço vetorial V ?
b) Usando o item a, verifique se S=\left\{(x, y) \in R^{2} / y=2 x-1\right\} é subespaço vetorial de R^{2}.

Passo 1

O enunciado pede em (a) que a gente liste as condições suficientes para garantir que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja, de fato, um subespaço vetorial. Em (b) a gente deve aplicar essas condições ao conjunto
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = 2x - 1\}
para ver se ele é subespaço de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Para verificar que W é subespaço de V, basta checar três propriedades fundamentais:
1. O vetor zero de V está em W.
Isto é, \mathbf{0}\in W.
2. Fechamento sob adição.
Sejam \mathbf{u} e \mathbf{v} vetores em W. Então \mathbf{u} + \mathbf{v} também deve pertencer a W.
3. Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja \mathbf{u}\in W e \alpha um escalar (do mesmo corpo de V). Então \alpha\,\mathbf{u} deve pertencer a W.
Essas três condições garantem que W herda a estrutura de espaço vetorial de V.

Passo 3

Vamos checar S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=2x-1\}:
  1. Verificar se \mathbf{0}=(0,0) está em S.
    Substituindo em y=2x-1, com x=0 e y=0, temos 0 \stackrel{?}{=} 2\cdot 0 - 1 = -1,o que é falso. Logo, (0,0)\notin S.
Como a condição de conter o vetor zero já falha, não é preciso checar as demais: S não pode ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Resposta

S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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