- ( 2,0 pontos) Seja a matriz
abaixo. Prove que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede para mostrar que (\det(E)=0]. Vamos usar propriedades de determinante e a fatoração em termos da matriz de uns.
Passo 2
Defina a matriz
de todas as entradas iguais a
e o bloco diagonal
Então a matriz cujas entradas são
é
, pois
Para ajustar a diagonal de
, note que queremos substituir em cada posição
o valor
por
, ou seja, subtrair
. Isso equivale a
Passo 3
Usando a propriedade multiplicativa do determinante, temos
Além disso,
Passo 4
Basta ver que
é singular. De fato, a matriz
satisfaz
, onde
. Logo
ou seja,
é vetor próprio associado a valor próprio
. Assim
.