1. ( 2,0 pontos) Seja a matriz E abaixo. Prove que \operatorname{det}(E)=0.
E=\left[\begin{array}{cccc} (1-n) e_{1} & e_{2} & \ldots & e_{n} \\\ e_{1} & (1-n) e_{2} & \ldots & e_{n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ e_{1} & e_{2} & \ldots & (1-n) e_{n} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz E\in\mathbb{R}^{n\times n}\) cujos elementos são \[E_{ij}=\begin{cases} (1-n)\,e_i, & i=j,\\\ e_j, & i\neq j, \end{cases}
e pede para mostrar que (\det(E)=0]. Vamos usar propriedades de determinante e a fatoração em termos da matriz de uns.

Passo 2

Defina a matriz J de todas as entradas iguais a 1 e o bloco diagonal
D=\mathrm{diag}(e_1,e_2,\dots,e_n).
Então a matriz cujas entradas são E_{ij}=e_j é J\,D, pois
(JD)_{ij}=\sum_{k=1}^n J_{ik}\,D_{kj}=1\cdot e_j=e_j.
Para ajustar a diagonal de E, note que queremos substituir em cada posição (i,i) o valor e_i por (1-n)e_i, ou seja, subtrair n e_i. Isso equivale a
E = JD - n\,D = \bigl(J - nI\bigr)\,D.

Passo 3

Usando a propriedade multiplicativa do determinante, temos
\det(E) =\det\bigl((J-nI)\,D\bigr) =\det(J-nI)\,\det(D).
Além disso,
\det(D)=e_1\,e_2\cdots e_n.

Passo 4

Basta ver que J-nI é singular. De fato, a matriz J satisfaz J\mathbf{1}=n\,\mathbf{1}, onde \mathbf{1}=(1,1,\dots,1)^T. Logo
(J-nI)\,\mathbf{1} =J\,\mathbf{1}-n\,I\,\mathbf{1} =n\,\mathbf{1}-n\,\mathbf{1} =\mathbf{0},
ou seja, \mathbf{1} é vetor próprio associado a valor próprio 0. Assim \det(J-nI)=0.

Resposta

\det(E)=0.

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