(6 pontos ) Considere as seguintes afirmações sobre vetores não nulos U, V e Z no espaço.
(I) Se U \cdot V=0 então U \times V=\overline{0}
(II) Se U e V são paralelos então U \times V=\overline{0}.
(III) U \times V é paralelo Z então U \cdot Z=0
Então:
(a) apenas as afirmações (I) e (I I I) são verdadeiras.
(b) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
(c) apenas as afirmações (I I) e (I I I) são verdadeiras.
(d) apenas a afirmação ( I ) é verdadeira.
(e) todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado pede para julgar três afirmações envolvendo produto escalar e vetorial de vetores não nulos U,V,Z no espaço. O conteúdo é o seguinte:
– Produto escalar U \cdot V = \|U\| \|V\| \cos \theta
– Produto vetorial U \times V tem magnitude \|U\| \|V\| \sin \theta e é perpendicular a U e V
Vamos analisar cada afirmação usando essas propriedades.

Passo 2

Avaliação de (I): “Se U\cdot V=0 então U\times V=\overline{0}.”
Como U\cdot V=0 implica \theta=90^\circ, temos \sin\theta=1 e
\|U\times V\|=\|U\|\|V\|\sin\theta=\|U\|\|V\|\neq0
(pois U e V são não nulos). Logo U\times V\neq\overline{0}, e a afirmação (I) é falsa.

Passo 3

Avaliação de (II): “Se U e V são paralelos então U\times V=\overline{0}.”
Quando U\parallel V temos \theta=0^\circ ou 180^\circ, de modo que \sin\theta=0 e
\|U\times V\|=\|U\|\|V\|\sin\theta=0.
Isso implica U\times V=\overline{0}. Portanto, (II) é verdadeira.

Passo 4

Avaliação de (III): “Se U\times V é paralelo a Z então U\cdot Z=0.”
Se U\times V\parallel Z, existe \lambda\neq0 tal que
U\times V=\lambda Z.
Tomando o produto escalar com U,
U\cdot(U\times V)=0
por ser sempre zero, e também
U\cdot(U\times V)=U\cdot(\lambda Z)=\lambda\,(U\cdot Z).
Como \lambda\neq0, decorre U\cdot Z=0. Logo, (III) é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que somente as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Resposta

(c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

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