(6 pontos ) Considere as seguintes afirmações sobre vetores não nulos
e
no espaço.
(I) Se
então
(II) Se
e
são paralelos então
.
(III)
é paralelo
então
Então:
(a) apenas as afirmações
e
são verdadeiras.
(b) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
(c) apenas as afirmações
e
são verdadeiras.
(d) apenas a afirmação (
) é verdadeira.
(e) todas as afirmações são verdadeiras.
(I) Se
(II) Se
(III)
(a) apenas as afirmações
(b) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
(c) apenas as afirmações
(d) apenas a afirmação (
(e) todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado pede para julgar três afirmações envolvendo produto escalar e vetorial de vetores não nulos
no espaço. O conteúdo é o seguinte:
– Produto escalar
– Produto vetorial tem magnitude
e é perpendicular a
e
Vamos analisar cada afirmação usando essas propriedades.
– Produto escalar
– Produto vetorial
Vamos analisar cada afirmação usando essas propriedades.
Passo 2
Avaliação de (I): “Se
então
.”
Como implica
, temos
e
Como
(pois
e
são não nulos). Logo
, e a afirmação (I) é falsa.
Passo 3
Avaliação de (II): “Se
e
são paralelos então
.”
Quando temos
ou
, de modo que
e
Quando
Isso implica
. Portanto, (II) é verdadeira.
Passo 4
Avaliação de (III): “Se
é paralelo a
então
.”
Se , existe
tal que
Se
Tomando o produto escalar com
,
por ser sempre zero, e também
Como
, decorre
. Logo, (III) é verdadeira.
Passo 5
Concluímos que somente as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
Resposta
(c) apenas as afirmações
e
são verdadeiras.